Регрессионный анализ (поиск формы и уравнения связи)

1 этап. Выбор формы связи между признаками

На основании рисунка 6.1 предположим, что связь между стоимостью собственных оборотных средств и средним размером активов описывается линейным уравнением регрессии .

2 этап. Построение уравнения связи

Для расчета коэффициентов a, b линейного уравнения регрессии построим таблицу вспомогательных расчетов 6.3.

Сами параметры уравнения регрессии можно определить двумя способами:

1 способ. С использованием готовых формул (по данным последней строки таблицы 6.3):

= 0,574 млн.руб./ млн. руб.;

=9,097 млн. руб.

2 способ. С использованием системы нормальных уравнений для линейной формы связи между факторным признаком и результативным признаком :

Таблица 6.3

Таблица вспомогательных расчетов для построения уравнения регрессии

№ предприятия	№ п/п	Стоимость СОС, млн. руб.	Размер балансовой прибыли, млн. руб.	Вспомогательные расчеты
		Выровненные значения по уравнению прямой
	i	()	()	xi ∙ yi
		62,0	50,0	3 100,00	3 844,00	44,7
		63,5	50,0	3 175,00	4 032,25	45,6
		88,4	59,0	5 215,60	7 814,56	59,8
		91,2	51,0	4 651,20	8 317,44	61,5
		91,2	59,5	5 426,40	8 317,44	61,5
		94,7	59,5	5 634,65	8 968,09	63,5
		101,5	66,0	6 699,00	10 302,25	67,4
		104,9	59,0	6 189,10	11 004,01	69,3
		105,1	71,0	7 462,10	11 046,01	69,4
		105,1	71,0	7 462,10	11 046,01	69,4
		115,7	72,0	8 330,40	13 386,49	75,5
		116,3	82,5	9 594,75	13 525,69	75,9
		116,5	82,5	9 611,25	13 572,25	76,0
		116,9	76,0	8 884,40	13 665,61	76,2
		116,9	78,5	9 176,65	13 665,61	76,2
		117,1	75,0	8 782,50	13 712,41	76,3
		118,1	74,0	8 739,40	13 947,61	76,9
		118,1	74,0	8 739,40	13 947,61	76,9
		118,1	76,0	8 975,60	13 947,61	76,9
		118,3	76,0	8 990,80	13 994,89	77,0
		119,3	76,0	9 066,80	14 232,49	77,6
		119,3	76,0	9 066,80	14 232,49	77,6
		119,3	83,5	9 961,55	14 232,49	77,6
		123,0	83,5	10 270,50	15 129,00	79,7
		127,2	82,5	10 494,00	16 179,84	82,1
		127,2	85,0	10 812,00	16 179,84	82,1
		127,6	85,0	10 846,00	16 281,76	82,4
		137,6	89,5	12 315,20	18 933,76	88,1
		138,6	89,5	12 404,70	19 209,96	88,7
		138,6	89,5	12 404,70	19 209,96	88,7
		138,6	89,5	12 404,70	19 209,96	88,7
		146,3	95,0	13 898,50	21 403,69	93,1
		146,3	95,5	13 971,65	21 403,69	93,1
		153,1	92,5	14 161,75	23 439,61	97,0
		163,0	101,5	16 544,50	26 569,00	102,7
		163,0	106,0	17 278,00	26 569,00	102,7
		163,2	100,0	16 320,00	26 634,24	102,8
		163,2	101,5	16 564,80	26 634,24	102,8
		173,0	106,0	18 338,00	29 929,00	108,4
		173,0	110,0	19 030,00	29 929,00	108,4
Сумма	4 940	3 200	410 994,45	637 600,86	3 200
Среднее	=123,5	=80	=10 274,861	=15 940,021	=80

На основании данных таблицы 6.3 систему нормальных уравнений для выявления связи между факторным признаком – стоимость собственных оборотных средств предприятия – и результативным признаком – размер балансовой прибыли предприятия – можно записать в следующем виде:

Решив систему уравнений, получаем те же значения параметров:

=9,097 млн. руб.; =0,574 млн. руб./млн. руб.

Таким образом, линейное уравнение связи принимает вид: . Подставляя в него поочередно все значения стоимости СОС x_i, получаем теоретические значения размера балансовой прибыли (столбец 7 таблицы 6.3). Правильность произведенных расчетов подтверждает тот факт, что сумма теоретических уровней ряда равна сумме фактических уровней:

3200 млн. руб.

Параметр –коэффициент регрессии – показывает, что при увеличении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли увеличивается на 0,574 млн. руб. (574 млн. руб.) и, наоборот, при снижении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли уменьшается на 574 млн. руб.

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении стоимости оборотных средств на 1% размер балансовой прибыли увеличивается на 0,89%, и наоборот.

Оценим среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии ():

где – число параметров уравнения регрессии (для уравнения прямой = 2).

Поскольку < s_у (пункт 1г задания 4: s_у = млн. руб.), то использование линейного уравнения регрессии является целесообразным.

Нанесем фактические и теоретические значения активов, а также линию среднего размера балансовой прибыли на график (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Корреляционное поле, эмпирическая и теоретическая линии регрессии
балансовой прибыли от стоимости СОС, постоянная средняя линия

Как видно из рисунка 6.2, переменная средняя (линия теоретических значений) сильно отличается от постоянной средней, что говорит о значительном влиянии фактора х (стоимости СОС) на результативный признак y (размер балансовой прибыли). Однако несовпадение линии теоретических и фактических значений размера балансовой прибыли говорит о том, что связь между стоимостью СОС и размером балансовой прибыли не функциональная (не полная).

Измерим степень близости связи к функциональной.

3 этап. Измерение тесноты связи между признаками

Рассчитаем все виды дисперсий:

- общая дисперсия, измеряющая общую вариацию результативного признака за счет действия всех факторов:

млн. руб.²

(общая дисперсия также была рассчитана в задании 4);

- факторная (теоретическая) дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия только факторного признака х:

млн. руб.²

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию признака у за счет всех факторов, кроме х:

млн. руб.²

Проверим, выполняется ли правило сложения дисперсий:

227 + 14 = 241 млн. руб.² (верно).

Оценим тесноту связи численно с помощью ряда показателей:

1. Коэффициент детерминации:

- удельный вес вариации результативного признака, линейно связанной с вариацией факторного признака, составляет 94,2%.

2. Индекс корреляции (теоретическое корреляционное отношение) составляет:

- поскольку численное значение индекса корреляции близко к единице, то линейная связь между стоимостью собственных оборотных средств и балансовой прибыли сильная (тесная).

3. Линейный коэффициент корреляции:

,

где ;

(млн. руб.); млн. руб.;

s_у = млн. руб.;

.

Поскольку линейный коэффициент корреляции положителен, то связь между признаками прямая, т.к. он близок к единице – связь тесная.

4 этап. Проверка существенности связи с использованием критерия Фишера:

где – число параметров уравнения регрессии (у прямой два параметра).

Критическое значение критерия Фишера для v₁=1 и v₂=38 составляет: F_кр =4,1 (прил. 2). Поскольку полученное значение F_расч > F_кр, то существенность линейной связи между стоимостью собственных оборотных средств и размером балансовой прибыли предприятия подтверждается.