Проблема автокорреляции

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях (условие 3). Неформально это означат, что «данные одного наблюдения не влияют на данные других наблюдений». Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции.

Что касается моделей, построенных по пространственным данным, то для

них автокорреляция, как правило, отсутствует. Пусть, например, обследуется выборка, полученная для различных предприятий, торговых организаций и т.д. Маловероятно, что при таком обследовании значение изучаемого показателя для какого-то объекта, окажется связанным со значением этого же показателя для другого объекта.

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Поэтому под автокорреляцией понимается в основном корреляционная зависимость между наблюдаемыми показателями во времени.

В экономических задачах чаще встречается положительная автокорреляция , чем отрицательная . Если неучтенная в уравнении переменная действует на зависимую переменную постоянно позитивно или негативно, то это приводит к положительной автокорреляции. Она более характерна для экономического анализа.

Графически положительная автокорреляция выражается в чередовании зон, в которых наблюдаемые значения оказываются выше объясненных регрессией, и зон, в которых наблюдаемые значения ниже (рисунок 5.3).

Рис. 5.3. Модель регрессии с положительной автокорреляцией

Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда наблюдения действуют друг на друга по принципу маятника – завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в наблюдениях последующих. Графически это выражается в том, что результаты наблюдений слишком часто перескакивают через линию регрессии (рисунок 5.4).

Чаще всего причиной автокорреляции является либо неверная форма спецификации модели, либо наличие неучтенных факторов. Например, при

выборе линейной формы связи в ситуации, представленной на рисунке 5.3, когда имеет место экспоненциальная зависимость, возникает положительная автокорреляция.

рис. 5.4. Модель регрессии с отрицательной автокорреляцией

Автокорреляция может быть обусловлена также ошибками измерения результативного признака, цикличностью значений экономических показателей, запаздыванием изменения значений показателей по отношению к изменению экономических условий.

При наличии автокорреляции обычный метод наименьших квадратов дает несмещенные и состоятельные оценки параметров модели, которые однако неэффективны, т.е. их дисперсии не будут наименьшими. По сравнению с гетероскедастичностью автокорреляция приводит, наоборот, к завышению стандартных ошибок коэффициентов регрессии. На основе таких результатов может быть сделан ошибочный вывод о несущественном влиянии исследуемого фактора на зависимую переменную, в то время как на самом деле влияние фактора на нее значимо. Это может привести к ухудшению прогнозных качеств модели.

Игнорирование автокорреляции создает серьезные трудности для применения обыкновенного МНК. Поэтому важно владеть методами диагностики автокорреляции.

Существуют различные методы определения автокорреляции. Наиболее распространенными являются следующие два:

1. Построение графика остатков в зависимости от их порядковых номеров и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Считается, что условие 3 выполняется, если точки наблюдений расположены возле линии регрессии хаотично без видимой закономерности (например, как на рисунке 5.5).

рис. 5.5. Модель регрессии без автокорреляции

2. Использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины

.

Статистическая независимость отклонений может быть количественно оценена по некоррелированности соседних величин отклонений с помощью коэффициента автокорреляции первого порядка , вычисляемого по формуле .

Считается, что , .

Поэтому критерий Дарбина–Уотсона основан на следующем соотношении, связывающим DW -статистику с коэффициентом автокорреляции первого порядка :

.

Если , то , если , то . Во всех случаях . Практически, если статистика Дарбина-Уотсона близка к двум, то автокорреляция отсутствует.

Общая схема критерия Дарбина–Уотсона следующая:

1. По построенному уравнению регрессии вычисляются значения отклонений для каждого наблюдения .

2. По формуле вычисляется величина DW.

3. По таблицам критических точек Дарбина–Уотсона определяются пороговые значения и в зависимости от уровня значимости, количества наблюдений и числа объясняющих переменных.

Рис. 5.6. Тест Дарбина–Уотсона

На рисунке 5.6 – граница для признания положительной автокорреляции остатков; – граница признания отсутствия автокорреляции остатков; 1 – зона неопределенности в случае предполагаемой положительной автокорреляции; 2 – зона неопределенности в случае предполагаемой отрицательной автокорреляции.

Далее наличие или отсутствие автокорреляции определяется тем, на какой участок отрезка попадает значение :

1) если , то признаются отсутствие автокорреляции;

2) если , то имеется положительная автокорреляция;

3) если , то существует отрицательная автокорреляция;

4) если или , то имеет место зона неопределенности, когда нельзя ни отклонить, ни применить нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции (в этом случае требуется привлечение других критериев).

Недостатками критерия Дарбина–Уотсона является наличие области неопределенности критерия, а также то, что критические значения DW -статистики определены для объемов выборки не менее 15. Если фактическое значение DW критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу об отсутствии автокорреляции.

Тест Дарбина-Уотсона построен в предположении, что объясняющие переменные некоррелированы со случайным членом. Поэтому тест неприменим к моделям, включающим в качестве объясняющих переменных лаговые значения зависимой переменной.

Действия по устранению автокорреляции необходимо начинать с проверки спецификации модели, поскольку всегда существует вероятность того, что обнаруженная автокорреляция связана с пропущенной переменной или использованием неправильной функциональной формы уравнения.

Если ошибки спецификации устранены, то, возможно, это связано с внутренними свойствами ряда отклонений. Тогда для устранения автокорреляции можно воспользоваться обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК).

Для применения ОМНК необходимо специфицировать модель автокорреляции регрессионных остатков. Обычно в качестве такой модели используется авторегрессионный процесс первого порядка AR (1). Для простоты изложения ограничимся случаем парной регрессии.

Пусть исходная регрессионная модель содержит автокорреляцию случайных членов.

Допустим, что автокорреляция подчиняется авторегрессионной схеме первого порядка , где – коэффициент автокорреляции первого порядка, а – случайный член, удовлетворяющий предпосылкам МНК.

Пусть известно.

Для значений и справедливы равенства: и .

Вычтем из первого равенства второе, умноженное на :

.

Обозначим , , .

Такое преобразование переменных и называется авторегрессионым преобразованием первого порядка AR (1) или преобразованием Бокса-Дженкинса.

Тогда преобразованное уравнение принимает вид

где Это уравнение не содержит автокорреляцию и для оценки его параметров используется обычный МНК. Свободный член исходной модели имеет вид .

На практике величина неизвестна. Наиболее простой способ оценить – применить обычный МНК к регрессионному уравнению . Коэффициент можно также приближенно оценить, используя статистику Дарбина-Уотсона: .