Формула трапеций

Вычислим коэффициенты Котеса при .

Значения коэффициентов удовлетворяют условиям (7), следовательно, используя квадратурную формулу (6) получим следующую формулу для вычисления определенного интеграла

(8).

Формула (8) называется формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла. Остаточный член (ошибка) квадратурной формулы (8) равен

(9).

Если , то (10)

Для вычисления интеграла можно разделить промежуток интегрирования на равных частей и к каждому из них применить формулу трапеций (8). Полагая, получим

. (16)

Геометрический смысл формулы (16) состоит в том, что график подынтегральной функции заменяется ломаной линией.

Ошибка общей формулы трапеций (16) составляет

(17)

Пример.

Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Для достижения требуемой точности необходимо определить количество точек разбиения n, удовлетворяющее условию

, где - пределы интегрирования, , где .

Находим производные

Оценим максимальное значение второй производной на отрезке интегрировании, для этого в числитель подставим верхний предел, в знаменатель – нижний:

Пусть , тогда Возьмем . Результат вычислений приведен в таблице.

  0,6000 0,3600 4,8200 2,1954 0,4555
  0,6250 0,3906 5,1875 2,2776 0,4391
  0,6500 0,4225 5,5700 2,3601 0,4237
  0,6750 0,4556 5,9675 2,4428 0,4094
  0,7000 0,4900 6,3800 2,5259 0,3959
  0,7250 0,5256 6,8075 2,6091 0,3833
  0,7500 0,5625 7,2500 2,6926 0,3714
  0,7750 0,6006 7,7075 2,7762 0,3602
  0,8000 0,6400 8,1800 2,8601 0,3496
  0,8250 0,6806 8,6675 2,9441 0,3397
  0,8500 0,7225 9,1700 3,0282 0,3302
  0,8750 0,7656 9,6875 3,1125 0,3213
  0,9000 0,8100 10,2200 3,1969 0,3128
  0,9250 0,8556 10,7675 3,2814 0,3047
  0,9500 0,9025 11,3300 3,3660 0,2971
  0,9750 0,9506 11,9075 3,4507 0,2898
  1,0000 1,0000 12,5000 3,5355 0,2828
  1,0250 1,0506 13,1075 3,6204 0,2762
  1,0500 1,1025 13,7300 3,7054 0,2699
  1,0750 1,1556 14,3675 3,7904 0,2638
  1,1000 1,2100 15,0200 3,8756 0,2580
  1,1250 1,2656 15,6875 3,9607 0,2525
  1,1500 1,3225 16,3700 4,0460 0,2472
  1,1750 1,3806 17,0675 4,1313 0,2421
  1,2000 1,4400 17,7800 4,2166 0,2372
  1,2250 1,5006 18,5075 4,3020 0,2324
  1,2500 1,5625 19,2500 4,3875 0,2279
  1,2750 1,6256 20,0075 4,4730 0,2236
  1,3000 1,6900 20,7800 4,5585 0,2194
  1,3250 1,7556 21,5675 4,6441 0,2153
  1,3500 1,8225 22,3700 4,7297 0,2114
  1,3750 1,8906 23,1875 4,8153 0,2077
  1,4000 1,9600 24,0200 4,9010 0,2040

Значение интеграла вычисляем по формуле

,

где .

.

Для проверки полученного результата вычислим данный интеграл с помощью формулы Ньютона – Лейбница.

Результат вычислений показывает, что формула трапеций дает значение, совпадающее до третьего знака после запятой с точным значением.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: