Вычислим коэффициенты Котеса при .
Значения коэффициентов удовлетворяют условиям (7), следовательно, используя квадратурную формулу (6) получим следующую формулу для вычисления определенного интеграла
(8).
Формула (8) называется формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла. Остаточный член (ошибка) квадратурной формулы (8) равен
(9).
Если , то (10)
Для вычисления интеграла можно разделить промежуток интегрирования на равных частей и к каждому из них применить формулу трапеций (8). Полагая, получим
. (16)
Геометрический смысл формулы (16) состоит в том, что график подынтегральной функции заменяется ломаной линией.
Ошибка общей формулы трапеций (16) составляет
(17)
Пример.
Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.
Для достижения требуемой точности необходимо определить количество точек разбиения n, удовлетворяющее условию
, где - пределы интегрирования, , где .
Находим производные
Оценим максимальное значение второй производной на отрезке интегрировании, для этого в числитель подставим верхний предел, в знаменатель – нижний:
|
|
Пусть , тогда Возьмем . Результат вычислений приведен в таблице.
0,6000 | 0,3600 | 4,8200 | 2,1954 | 0,4555 | |
0,6250 | 0,3906 | 5,1875 | 2,2776 | 0,4391 | |
0,6500 | 0,4225 | 5,5700 | 2,3601 | 0,4237 | |
0,6750 | 0,4556 | 5,9675 | 2,4428 | 0,4094 | |
0,7000 | 0,4900 | 6,3800 | 2,5259 | 0,3959 | |
0,7250 | 0,5256 | 6,8075 | 2,6091 | 0,3833 | |
0,7500 | 0,5625 | 7,2500 | 2,6926 | 0,3714 | |
0,7750 | 0,6006 | 7,7075 | 2,7762 | 0,3602 | |
0,8000 | 0,6400 | 8,1800 | 2,8601 | 0,3496 | |
0,8250 | 0,6806 | 8,6675 | 2,9441 | 0,3397 | |
0,8500 | 0,7225 | 9,1700 | 3,0282 | 0,3302 | |
0,8750 | 0,7656 | 9,6875 | 3,1125 | 0,3213 | |
0,9000 | 0,8100 | 10,2200 | 3,1969 | 0,3128 | |
0,9250 | 0,8556 | 10,7675 | 3,2814 | 0,3047 | |
0,9500 | 0,9025 | 11,3300 | 3,3660 | 0,2971 | |
0,9750 | 0,9506 | 11,9075 | 3,4507 | 0,2898 | |
1,0000 | 1,0000 | 12,5000 | 3,5355 | 0,2828 | |
1,0250 | 1,0506 | 13,1075 | 3,6204 | 0,2762 | |
1,0500 | 1,1025 | 13,7300 | 3,7054 | 0,2699 | |
1,0750 | 1,1556 | 14,3675 | 3,7904 | 0,2638 | |
1,1000 | 1,2100 | 15,0200 | 3,8756 | 0,2580 | |
1,1250 | 1,2656 | 15,6875 | 3,9607 | 0,2525 | |
1,1500 | 1,3225 | 16,3700 | 4,0460 | 0,2472 | |
1,1750 | 1,3806 | 17,0675 | 4,1313 | 0,2421 | |
1,2000 | 1,4400 | 17,7800 | 4,2166 | 0,2372 | |
1,2250 | 1,5006 | 18,5075 | 4,3020 | 0,2324 | |
1,2500 | 1,5625 | 19,2500 | 4,3875 | 0,2279 | |
1,2750 | 1,6256 | 20,0075 | 4,4730 | 0,2236 | |
1,3000 | 1,6900 | 20,7800 | 4,5585 | 0,2194 | |
1,3250 | 1,7556 | 21,5675 | 4,6441 | 0,2153 | |
1,3500 | 1,8225 | 22,3700 | 4,7297 | 0,2114 | |
1,3750 | 1,8906 | 23,1875 | 4,8153 | 0,2077 | |
1,4000 | 1,9600 | 24,0200 | 4,9010 | 0,2040 |
Значение интеграла вычисляем по формуле
,
где .
.
Для проверки полученного результата вычислим данный интеграл с помощью формулы Ньютона – Лейбница.
Результат вычислений показывает, что формула трапеций дает значение, совпадающее до третьего знака после запятой с точным значением.