Функция задана в равноотстоящих точках () отрезка . Для нахождения производных на отрезке функцию приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов и получим первую интерполяционную формулу:
, (1)
где - конечная разность k-го порядка,
. (2)
Перемножив биномы получим
(3)
Выражение (3) содержит в правой части функцию , поэтому производная имеет вид
Аналогично можно вычислить производные функции любого порядка.
Представляет интерес случай, когда нужно найти производные функции в основных табличных точках . Каждое табличное значение можно принять за начальное , тогда производная в точке будет иметь вид
и
.
Если - интерполяционный полином Ньютона, содержащий разности , и соответствующая погрешность вычисляется по формуле , то погрешность в определении производной есть .
Пример. Найти значение производной функции
в точке с помощью численных методов.
Сформируем диагональную таблицу конечных разностей заданной функции
|
|
0,2000 | 0,4472 | 0,4205 | ||||
0,4000 | 0,6325 | 0,5639 | 0,1434 | |||
0,6000 | 0,7746 | 0,6591 | 0,0951 | -0,0483 | ||
0,8000 | 0,8944 | 0,7297 | 0,0707 | -0,0244 | 0,0238 | |
1,0000 | 1,0000 | 0,7854 | 0,0557 | -0,0150 | 0,0094 | -0,0144 |
1,2000 | 1,0954 | 0,8309 | 0,0455 | -0,0102 | 0,0048 | -0,0046 |
1,4000 | 1,1832 | 0,8691 | 0,0382 | -0,0073 | 0,0028 | -0,0020 |
1,6000 | 1,2649 | 0,9018 | 0,0327 | -0,0055 | 0,0018 | -0,0010 |
1,8000 | 1,3416 | 0,9303 | 0,0284 | -0,0043 | 0,0012 | -0,0006 |
2,0000 | 1,4142 | 0,9553 | 0,0250 | -0,0034 | 0,0009 | -0,0004 |
2,2000 | 1,4832 | 0,9776 | 0,0223 | -0,0028 | 0,0006 | -0,0002 |
.
Возьмем ближайшее к заданному значению табличное значение , тогда ,
0,5729.
Найдем производную заданной функции аналитически и сравним полученные результаты.