Пример 3. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивление и гальванометра (рис.4)

Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивление и гальванометра (рис.4). В этой цепи R₁ =100 Ом, R₂ =50 Ом, R₃ =20 Ом. ЭДС элемента e = 2В Гальванометр регистрирует ток I₃ = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС x ₂ второго элемента. Сопротивление гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Дано: Указание

R₁ =100 Ом _В x_{1 С}

R₂=50 Ом I₁ + - I₂

R₃=20 Ом

_x1=2 В _A ^{F D}

I₃ = 50 Ма I₃ R₁ R₂

x ₂ =? R₃ ^Г

- +

^Н x₂ ^G

Рис.4

Для расчета разветвленных цепей применяют законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходившихся в узле, равна нулю, т.е.

.

Второй закон Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цеп равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в контуре:

.

На основании этих законов можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и ЭДС). Применяя законы Кирхгофа, следует соблюдать следующие правила:

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать:

а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла – отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком «плюс», если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком «минус»; б) ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае ЭДС входит в уравнение со знаком «минус».

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Решение

Выберем направления токов, как они показаны на рис.4, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа для узла F имеем

I₁ – I₂ – I₃ = 0 (1)

По второму закону Кирхгофа имеем для контура АВСDFA:

-I₁R₁ – I₂R₂ = -x₁.

или после умножения обеих частей равенства на –1

I₁R₁ + I₂R₂ = x₁. (2)

Соотвественно, для контура AFGHA

I₁R₁ + I₃R₃ = -x₂. (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

-I₁ – I₂R₂-0,05 = 0;

50I + 25I₂ = I

100I₁+ 0,05^.20 = -x₂.

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные – в правые, получим следующую систему уравнений:

I₁ – I₂ = 0,05;

50I₁ + 25I₂ = I;

100I₁ + x₂ = -1.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию. Задачи требуется определить только одно неизвестное x из трех, то воспользуемся методом определителей.

Составим и вычислим определитель D системы:

Составим и вычислим определитель D _x2:

D _x2 =

Разделив определитель D _x2 на определитель D, найдем числовое значение ЭДС D _x2: D _x2 = - 300/(-75) = 4 В.