Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция φ(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке x0=φ(t0). Тогда функция f(φ(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем:
f(x) непрерывна в x0 ∀ε>0,∃δ∀x|x−x0|<δ |f(x)−f(x0)|<ε ψ(e) непрерывна в t0 ∀δ>0∃η∀t |t−t0|<η|φ(t)−φ(t0)|<δВыписывая кванторы, получим, что:

∀ε>0∃η∀t|t−t0|<η∣∣f(φ(t))−f((φt0))∣∣<ε

что и говорит о том, что f(φ(t)) непрерывна в точке t0

15)Точки разрыва бывают 1 рода: разрыв-скачок и устранимый разрыв.

Разрыв-скачок: если конечное ондостороннрие пределы при х=>х0 не равны друг другу

Устранимый разрыв: онодсторонние пределы равны друг другу но не равны значению функции.

Точки разрыва 2 рода:

Х0 является точкой разрыва 2 рода если хотя бы 1 из односторонних преедлов функции при х= >x0 не существует или равен бесконечности. Точка разрыва 2 рода – бесконечный разрыв.

16)Свойства непрерывной функции:

1) Сумма, произведение и частное конечного числа непрерывных функции, есть функция непрерывная.

2) Если y=f(x) непрерывна в точке Х0 и f(x0) >0 то существует окрестность точки х0 в которой f(x)

Больше 0

3) Если u=f(x) непрерывна в точке х0 то функция y=f(x) непрерывна в точке u0=&(х0)

17) Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Определение