Условный экстремум

Опред. Линии уровня (кривой безразличия, изокванта) функции Z = Z (х;у) называется линия, изображенная на плоскости хОу и имеющая уравнение Z (x,y) = C, C = const. Пусть функция Z = Z (х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х,у) и вектор L задает направление на плоскости хОу. Опред.В производной по направлению L функции Z = Z (х;у) называется Lim если предел существует и конечен (Cos ; Cos ).; (; ; ^’x + O2(.; ^’x + O2( =˃ O3 (.; = Lim ^’x + ).; ^’x - производная по направлению.; Если > 0, то функция в направлении возрастает.; < 0, то функция убывает (рисунок).; tg = . Опред. Градиентомфункции Z = Z (х;у) называется (набла Z) или gradZ = ^’xL + Z^’yL.; Градиент указывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке.

Определение 5.5. Экстремум функции f (x₁, x₂,…, x_n) при выполнении условий (5.2) называется условным экстремумом.

Замечание. Можно предложить следующее геометрическое истолкование условного экстремума функции двух переменных: пусть аргументы функции f(x,y) связаны уравнением φ (х,у) = 0, задающим некоторую кривую в плоскости О ху. Восставив из каждой точки этой кривой перпендикуляры к плоскости О ху до пересечения с поверхностью z = f (x,y), получим пространственную кривую, лежащую на поверхности над кривой φ (х,у) = 0. Задача состоит в поиске точек экстремума полученной кривой, которые, разумеется, в общем случае не совпадают с точками безусловного экстремума функции f(x,y).

Определим необходимые условия условного экстремума для функции двух переменных, введя предварительно следующее определение:

Определение 5.6. Функция L (x₁, x₂,…, x_n) = f (x₁, x₂,…, x_n) + λ₁φ₁ (x₁, x₂,…, x_n) +

+ λ₂φ₂ (x₁, x₂,…, x_n) +…+λ_mφ_m (x₁, x₂,…, x_n), (5.3)

где λ_i – некоторые постоянные, называется функцией Лагранжа, а числа λ_i – неопределенными множителями Лагранжа.

Теорема 5.3 (необходимые условия условного экстремума). Условный экстремум функции z = f (x, y) при наличии уравнения связи φ (х, у) = 0 может достигаться только в стационарных точках функции Лагранжа L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Доказательство. Уравнение связи задает неявную зависимость у от х, поэтому будем считать, что у есть функция от х: у = у(х). Тогда z есть сложная функция от х, и ее критические точки определяются условием: . (5.4) Из уравнения связи следует, что . (5.5)

Умножим равенство (5.5) на некоторое число λ и сложим с (5.4). Получим:

, или .

Последнее равенство должно выполняться в стационарных точках, откуда следует:

(5.6)

Получена система трех уравнений относительно трех неизвестных: х, у и λ, причем первые два уравнения являются условиями стационарной точки функции Лагранжа. Исключаяиз системы (5.6) вспомогательное неизвестное λ, находим координаты точек, в которых исходная функция может иметь условный экстремум.

Замечание 1. Проверку наличия условного экстремума в найденной точке можно провести с помощью исследования частных производных второго порядка функции Лагранжа по аналогии с теоремой 5.2.

Замечание 2. Точки, в которых может достигаться условный экстремум функции f (x₁, x₂,…, x_n) при выполнении условий (5.2), можно определить как решения системы (5.7)

Пример. Найдем условный экстремум функции z = xy при условии х + у = 1. Составим функцию Лагранжа L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Система (5.6) при этом выглядит так:

, откуда -2λ=1, λ=-0,5, х = у = -λ = 0,5. При этом L (x, y) можно представить в виде L (x, y) = - 0,5 (x – y)² + 0,5 ≤ 0,5, поэтому в найденной стационарной точке L (x, y) имеет максимум, а z = xy – условный максимум.