Криволинейные интегралы (2-го рода)

Пусть функции определены на дуге MN кривой L. Разобьем дугу MN произвольным образом на n частей точками M=A ₀, A ₁,…, A_n = N,где A_i = A_i (x_i, y_i,z_i), i= 0,1,…, n. Полученные дуги A_i _-1 A_i, i= 1,…, n назовем элементарными дугами. В каждой из них произвольным образом выберем по точке , i= 1,…, n, которые назовем точками пунктуации. Введем обозначения:

и составим выражение

, (27)

которое называется интегральной суммой Римана для данных функцийпо дуге MN. Заметим, что выражение (27) зависит от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (27) при и если этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется криволинейным интегралом 2-го рода по дуге MN и обозначается

Следовательно, по определению

(28)

Свойства криволинейных интегралов 2-го рода аналогичны свойствам определенных интегралов.

Теорема (о вычислении криволинейных интегралов 2-го рода). Пусть даны параметрические уравнения дуги MN:

где и пусть функции x (t), y (t), z (t) имеют непрерывные производные. Тогда:

(29)

Задание 1. Вычислить интеграл

где линия L - отрезок O A с концами в точкахO(0,0,0), A (3,6,9).

Решение. Составим параметрические уравнения отрезка O A:

Тогда по формуле (29) имеем:

1. 5. Поверхностные интегралы (1-го рода)

Пусть функция u=f (x, y, z) определена и непрерывна на поверхности S пространства O_xyz. Разобьем поверхность S произвольным образом на n частей: S ₁, S ₂,…, S_n, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через , i= 1,…, n площадь i- ой элементарной области, . Составим выражение

, (30)

которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f (x, y, z) по поверхности S. Заметим, что выражение (30) зависит от способа разбиения поверхности S на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (30) при и если этот предел не зависит ни от способа разбиения поверхности S на элементарные области, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции u=f (x, y, z) по поверхности S иобозначается

Таким образом,

(31)

Свойства поверхностных интегралов 1-го рода аналогичны свойствам двойных интегралов.

Теорема (о вычислении поверхностных интегралов 1- го рода).

Пусть поверхность S задана в явном виде уравнением , где , D - областьплоскости O_xy и пусть функция имеет непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула:

(32)

Задание 1. Вычислить интеграл

где S - полусфера, задаваемая уравнением .

Решение. Рассматриваемая поверхность S задана в явном виде: , где - круг радиуса R= 1 (рис.11). Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой (32). Имеем: