Пусть функция u=f (x, y, z) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области T пространства Oxyz. Разобьем область T произвольным образом на n областей V 1, V 2,…, Vn, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через объем, а через диаметр i- ойэлементарной области (i= 1,…, n), . Составим выражение
, (7)
которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f (x, y, z) по области T. Заметим, что выражение (7) зависит от способа разбиения области T на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.
Если существует предел выражения (7) при и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области T на элементарные области, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется тройным интегралом от функции u=f (x, y, z) по области T и обозначается
Таким образом,
(8)
Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.
Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область T ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью и с боков прямой цилиндрической поверхностью; проекцией области T на плоскость Oxy является область D (рис. 6). Такую область назовем правильной в направлении оси Oz.
Рис. 6
Пусть функция u=f (x, y, z) определена и интегрируема в области T и для любых точек существует интеграл
.
Тогда существует интеграл
и справедлива формула
(9)
Аналогичные формулы справедливы и в случае, когда область T правильная в направлении оси Ox или оси Oy.
Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Пусть выполняются следующие условия:
1) функции x=x (u, v, w), y=y (u, v, w) и z=z (u, v, w) таковы, что каждой точке с координатами (x, y, z) из области T соответствует единственная точка с координатами (u, v, w) из области T 1 и наоборот;
2) функции x=x (u, v, w), y=y (u, v, w) и z=z (u, v, w) имеют непрерывные частные производные по переменным u, v и w;
3) функция u=f (x, y, z) определена и интегрируема в области T.
Тогда справедлива формула:
, (10)
где
- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.
Частным случаем криволинейных координат для тройного интеграла являются цилиндрические и сферические координаты.
1) В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где и - полярные координаты проекции точки M на координатную плоскость Oxy, z – аппликата точки M (рис.7).
Рис. 7
Имеют место формулы:
,
якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен и формула (10) принимает вид:
(11)
2) В случае сферических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где - расстояние от начала координат до точки M, - угол между проекцией радиус-вектора точки M на плоскость Oxy и осью Ox, - угол между радиус-вектором точки M и осью Oz (рис.8).
Рис. 8
Имеют место формулы:
,
якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен и формула (10) принимает вид:
(12)
Задание 1. Вычислить интеграл:
,
где T - тетраэдр, ограниченный плоскостями: x+y+z =1, x= 0, y= 0, z= 0.
Решение. Изобразим область интегрирования (рис.9).
Область интегрирования ограничена снизу плоскостью z= 0, сверху плоскостью z= 1 -x-y, по бокам плоскостями x= 0 и y= 0. Проекцией области T на плоскость Oxy является область D - треугольник OAB. По формуле (9) имеем:
.
Рис. 9
Записывая двойной интеграл по области D через повторный интеграл, получим:
И, наконец, вычислим полученный повторный интеграл:
.
Задание 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл:
.
Решение. Изобразим область интегрирования (рис.10).
Рис. 10
Положим
и применим формулу (11). Так как , то
Задание 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл:
.
Решение. Область интегрирования T есть полушар (рис.11).
Рис. 11
Найдем пределы изменения сферических координат для области T 1:
Следовательно, по формуле (12) имеем:
.
Вычислив полученный тройной интеграл, получим:
.
Приложения кратных интегралов
1. Геометрические приложения двойных интегралов
Площадь S плоской области (фигуры) D выражается в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:
(13)
- в декартовых координатах,
(14)
- в полярных координатах.
Пусть гладкая поверхность задана уравнением z=f (x, y). Тогда площадь части этой поверхности, проектирующейся в область D плоскости Oxy, равна:
(15)
Пусть область T ограничена снизу плоскостью z= 0, сверху – непрерывной поверхностью z=f (x, y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью. Если проекцией области T на плоскость Oxy является область D, то объем V области T выражается интегралом
(16)
2. Механические приложения двойных интегралов.
Масса M пластинки, занимающей область D плоскости Oxy, имеющей плотность , равна:
. (17)
Статические моменты Mx и My этойпластинки относительно осей Ox и Oy
выражаются интегралами:
(18)
Координаты центра масс и пластинки определяются следующим образом:
. (19)
Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy соответственно равны:
(20)
а момент инерции пластинки относительно начала координат равен:
. (21)
Заметим, что если рассматриваемая пластина однородна, то в приведенных формулах следует положить .
3. Геометрические приложения тройного интеграла
Объем V пространственной области T равен:
(22)
4.Механические приложения тройных интегралов. Масса M тела с плотностью ,занимающего область T, равна
(23)
Статические моменты Mxy, Mxz, Myz тела относительно координатных плоскостей выражаются интегралами:
(24)
Координаты центра масс тела T определяются следующим образом:
. (25)
Моменты инерции тела относительно осей координат соответственно равны:
(26)
.
Заметим, что если рассматриваемое тело однородно, то в приведенных формулах следует положить .
Задание 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
.
Решение. Данное тело ограничено снизу плоскостью z= 0, сверху плоскостью y+z= 1 и с боков цилиндром (рис.12а).
Проекцией рассматриваемого тела является область D (рис. 12б).
Рис. 12а
Рис. 12б
Найдем объем нашего тела двумя способами:
1) с помощью двойного интеграла;
2) с помощью тройного интеграла.
В первом случае воспользуемся формулой (16). В нашем случае f (x, y)=1 -y.
Следовательно,
.
Вычисляем полученный повторный интеграл:
V= 8/15.
Теперь найдем значение объема данного тела с помощью тройного интеграла. Для этого воспользуемся формулой (22). Имеем:
.
Вычисляем полученный тройной интеграл:
V= 8/15.
Задание 2. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями .
Решение. Данное тело изображено на рис.12а. Чтобы найти координаты центра масс рассматриваемого тела, воспользуемся формулами (25).
Найдем сначала массу тела. Для этого применим формулу (23) при , так как наше тело однородное. Имеем:
(это интеграл мы вычисляли в предыдущем примере).
Вычислим теперь статические моменты Mxy, Mxz, Myz рассматриваемого тела относительно координатных плоскостей. Для этого воспользуемся формулами (24) при . Имеем:
,
,
Вычислив полученные тройные интегралы, имеем:
Mxy= 16/105,
Mxz= 24/105,
Myz= 0.
Следовательно, координаты центра масс данного тела равны:
.