Степенные ряды

Ряд, члены которого являются функциями переменной x, т.е. ряд вида

u ₁(x) + u ₂(x) + … + u_n (x) + …

называется функциональным рядом.

Степенной ряд – это функциональный ряд вида

, (18)

где c ₀, c ₁,…, c_n,… - числа, называемые коэффициентами степенного ряда. Говорят, что степенной ряд (18) сходится в точке x^*, если сходится числовой ряд

;

при этом x^* называют точкой сходимости ряда (18), а совокупность всех точек сходимости называют областью сходимости данного ряда.

Теорема (об области сходимости степенного ряда). Если для степенного ряда (18) с коэффициентами , существует , то:

1) ряд (18) сходится во всех точках x, для которых | x-x₀ |< R;

2) ряд (18) расходится во всех точках x, для которых | x-x₀ |> R;

3) в точках х, для которых | x-x₀ |= R, теорема не дает ответ на вопрос о сходимости ряда (18).

Число называют радиусом сходимости, аинтервал | x-x₀ |< R - интервалом сходимости степенного ряда (18).

Замечание. В области сходимости по отношению к степенным рядам справедливы все правила действий с многочленами. В частности, их можно складывать, умножать на число, дифференцировать, интегрировать.

Задание 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Сначала найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, по теореме обобласти сходимости степенного ряда, для всех х, удовлетворяющих условию -1< x< 1, данный ряд сходится; для всех х, удовлетворяющих условию х <-1 или x> 1, данный ряд расходится. Исследуем сходимость нашего ряда при х = -1 и x= 1.

1. Рассмотрим точку х = -1 и подставим значение х = -1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд

.

Этот ряд является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится, а потому сходится и данный ряд при х = -1.

2. Рассмотримточку х = 1 и подставим значение х = 1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд

.

Это - гармонический ряд. Следовательно, он расходится, а потому расходится и данный ряд при х = 1.

Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток .