Знакопеременные ряды

5 6 7 8 9 10 11

Ряд (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Пусть задан знакопеременный ряд

a ₁ + a ₂ + … + a_n + …. (13)

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

| a ₁| + | a ₂| + … + | a_n | +…, (14)

сходится, то сходится и данный ряд (13).

Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно или неабсолютно сходящимся.

Ряд вида

a ₁ – a ₂ + a ₃ – a ₄ +… + a_n + …., (15)

где , называется знакочередующимся.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:

1) (16)

2) (17)

Замечание 1. При решении задач на исследование сходимости ряда полезно знать особенности поведения следующих рядов:

1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : сходится при и расходится при , q – знаменатель прогрессии;

2. Обобщенный гармонический ряд : сходится при и расходится при . В частном случае () получаем гармонический ряд , который расходится.

Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то ошибка, совершаемая при замене S на S_n, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений.

Задание 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как (второй замечательный предел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.

Задание 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом (это – обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как ). Имеем:

и, следовательно, из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость и данного ряда.

Задание 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем:

и, следовательно, ряды и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:

Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:

и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.

Задание 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:

что означает, что члены данного ряда убывают. В качестве функции f (x)возьмем функцию , . Эта функция положительная, непрерывная и убывает в области определения, причем . Рассмотрим несобственный интеграл

Следовательно, несобственный интеграл расходится. Тогда в силу интегрального признака Коши расходится и данный ряд.

Задание 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Ряд, составленный из абсолютных величин эквивалентен ряду . Последний ряд расходится, следовательно, расходится и ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда. Таким образом, если исходный ряд и сходится, то только условно.