Ряды Фурье

Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа a ₀, a_n и b_n (n =1,2,...) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Рядом Фурье для функции f (x) на промежутке называется тригонометрический ряд:

, (27)

коэффициенты которого определяются формулами:

(28)

В общем случае, рядом Фурье для функции f (x) на промежутке [ a,a+T ] называется тригонометрический ряд:

, (29)

коэффициенты которого определяются формулами:

(30)

Функция f (x) называется кусочно-монотонной на промежутке [ a,a+T ], если она имеет на данном промежутке конечное число участков монотонности.

Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на промежутке [ a,a+T ], она имеет на данном промежутке конечное число точек разрыва и все они 1-го рода.

Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции рядом Фурье). Если функция f (x) кусочно-монотонна и кусочно-непрерывнана промежутке [ a,a+T ], то для ряд Фурье (29), составленный для функции f (x) на [ a,a+T ], сходится, причем:

1) в точках непрерывности функции f (x) сумма S (x) ряда Фурье равна значению функции в точке x: S (x) = f (x);

2) в точках разрыва функции f (x) сумма S (x) ряда Фурье вычисляется по формуле:

,

где f (x-) и f (x+) – это соответственно левосторонний и правосторонний пределы функции f (x) в точке x;

3) на концах промежутка [ a,a+T ] сумма S (x) ряда Фурье вычисляется по формуле:

Задание 1. Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке .

Решение. В нашем случае . Следовательно, по формулам (30) имеем:

Подставляя значения коэффициентов a ₀, a_k, b_k, k =1,2,3,… в (29), получим разложение данной функции в ряд Фурье на промежутке :

.

Это разложение справедливо . На концах промежутка, те в точках x = 0 и , сумма полученного ряда равна .