2015-01-21
685
Рядом Тейлора для данной функции f (x) в окрестности точки x 0 называется степенной ряд, коэффициенты которого определяются формулой:
, n= 0, 1, …
Таким образом, ряд Тейлора – это ряд вида:
(19)
В частном случае, если x 0=0, ряд Тейлора (19) называют рядом Маклорена.
Теорема (критерий представимости функции рядом Тейлора). Для того, чтобы функцию f (x) можно было представить в окрестности точки x 0 рядомТейлора:
, (20)
необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора
стремился к нулю при 
, т.е. 
.
Замечание. При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями:
1) 
; (21)
2) 
; (22)
3) 
; (23)
4) 
; (24)
5) 
; (25)
6) 
(26)
Задание 1. Вычислить интеграл 
с точностью до 0,001.
Решение. Воспользуемся разложением (23).
Имеем
.
Следовательно,
Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося ряда (с одним лишним знаком после запятой):
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, ошибка вычислений, совершаемая при отбрасывании членов ряда, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Следовательно, для вычисления данного интеграла с точностью 0,001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Таким образом, получаем
.
