Тождественные преобразования алгебраических выражений

1 2 3 4 5 6 7

Л.Д. Блистанова

АЛГЕБРА ИНАЧАЛА АНАЛИЗА

Учебное пособие для слушателей подготовительного отделения

Формулы для справок

I. Арифметика и алгебра

Тождественные преобразования алгебраических выражений.

Действия с дробями:

Сложение	Вычитание	Умножение	Деление

Перестановка членов пропорции:

;

Производные пропорции.

Дана пропорция , справедливы следующие пропорции:

;

Формулы сокращенного умножения:



, где и - корни уравнения .

Формулы корней квадратного уравнения

, дискриминант

		Среди действительных чисел корней нет

Формулы корней приведенного квадратного уравнения

, дискриминант

		Среди действительных чисел корней нет

Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при , взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену:

Если задано квадратное уравнение в общем виде: , то делением уравнения на можно свести к приведенному, где ,

Действия со степенями:

При работе с модулями используют различные свойства модулей, например:

Действия с корнями (корни предполагаются арифметическими):

Свойства числовых неравенств

	пусть , тогда
и
	пусть , тогда

Пояснения к разделу: Тождественные преобразования алгебраических выражений.

Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения арифметического корня.

Равенство, обе части которого принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Например, каждая из формул сокращенного умножения представляет собой тождество, ибо левая и правая части каждого из равенств:

равны друг другу при любых значениях и . При этом одно выражение преобразуется в другое – ему тождественно равное.

При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.

Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:

- величина допустимых изменений буквенных величин;

- область допустимых значений каждой из буквенных величин.

Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.

Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:

Второе требование – неизменность областей допустимых значений, не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь на разность и написав равенство , мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что , т.е. произошло изменение области допустимых значений величины . Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.

Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.

Порядок выполнения действий:

- действия с одночленами;

- действия в скобках;

- умножение или деление (в порядке появления);

- сложение или вычитание (в порядке появления).

Обыкновенная дробь – число вида ; a – целое число, b – натуральное число. Две дроби равны, если . Основное свойство дробей , где c – любое отличное от нуля действительное число.

В пропорции ; a и d – крайние члены, b и c – средние члены.

Основное свойство пропорции: (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).

Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом . По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:

При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень называется арифметическим лишь в том случае, если число положительно или нуль, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство верно лишь при условии, что . При нужно писать так: .