Примеры решения задач. Решение. Указанные действия надо выполнить, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений

1. Вычислить: .

Решение. Указанные действия надо выполнить, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.

Будем выполнять вычисления по действиям:

1). .

2).

3). .

4). .

Таким образом, = .

2. Упростить выражение: , при , и .

Решение. Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:

,

поскольку , то ; по условию.

Следовательно, дробь положительна, т.е. , а значит, и .

Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:

Подставляя значение , получим

По условию , значит, , поэтому

Рассмотрим оба возможных случая:

1) если , т.е. если , то и

2) если , т.е. если , то и

3. Сократить дробь: .

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя: , поэтому, имеем: .

Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:

= .

Тогда при , будем иметь:

= .

4. Пользуясь теоремой Виета, вычислить: , где и - корни уравнения .

Решение. Преобразуем исходное выражение в дробь . Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: . Проведем тождественные преобразования:

Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена больше нуля.

Действительно: . Следовательно, у уравнения имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.

Таким образом, , и . Поэтому, имеем:

.