Пусть функции и
определены на некотором множестве
. Поставим задачу: найти множество
, на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения
, для которых выполняется равенство:
=
.
При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным .
Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем.
Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.
Множество называется множеством решений, а всякое его решение
- корнем данного уравнения
Решить уравнение, – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
Основная теорема алгебры: всякое целое алгебраическое уравнение степени в области комплексных чисел имеет
корней.
Основные правила преобразования уравнения в равносильное ему:
· Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;
· Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число;
· Если уравнение имеет вид , то деление обеих его частей на
, как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения
=0, если они существуют;
· Уравнение вида можно заменить равносильной системой
или решить уравнение
=0, а затем отбросить те из найденных корней, которые обращают в нуль знаменатель
;
· Уравнение считается решенным неверно как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.
Теорема о неэквивалентности уравнений: Если функции и
имеют общую область определения, то уравнения
=
и
2=
2 не обязательно являются эквивалентными в этой области.
Теорема об эквивалентности уравнений: Если функции и
имеют общую область определения
и для каждого значения переменной из области
эти функции принимают неотрицательные значения, то уравнения
=
и
2=
2 являются эквивалентными области
.
Некоторые типы уравнений и их корни
Линейное уравнение ![]() | |
![]() ![]() | Уравнение имеет единственный корень, определяемый формулой ![]() |
![]() | Уравнение имеет бесконечное множество корней, – любое число служит его корнем |
![]() ![]() | Уравнение корней не имеет, – ни одно число не может обратить его в справедливое равенство |
Квадратное уравнение ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | Среди действительных чисел корней нет |
Приведенное квадратное уравнение ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | Среди действительных чисел корней нет |
Любой квадратный трехчлен можно представить в виде , где
, (выделен полный квадрат
).
Для приведенного квадратного уравнения и при
(т.е., если существуют корни), справедлива теорема Виета:
Квадратный трехчлен при условии можно разложить на линейные множители
, где
- корни. Если
, то
и его называют полным квадратом.
Биквадратным уравнением с одной неизвестной величиной называется уравнение вида:
. Для ее решения от неизвестной величины
надо перейти к новой неизвестной величине
с помощью равенства:
. Такого рода переход от одной неизвестной величины к другой называется методом замены неизвестных или подстановкой. Таким образом, исходное биквадратное уравнение сведется к квадратному уравнению относительно
:
.
Иногда при решении уравнений высокой степени с целью упрощения полезно ввести новое неизвестное, и метод замены неизвестных наиболее эффективен.
![]() ![]() ![]() | ||||
Корни уравнения (2) | ![]() | ![]() | ||
Корни уравнения (1) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Ограничения | ![]() | ![]() | ||
В некоторых случаях может быть эффективным метод разложения левой части уравнения: =0 на множители:
![]() | ![]() | ![]() |
Иррациональным называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком радикала. Чтобы решить иррациональное уравнение, чаще всего приходится возводить его в степень, при этом нет никакой гарантии, что такого рода действия преобразуют данное уравнение в уравнение ему равносильное. Найдя корни этого уравнения, мы обязаны проверить, не являются ли они посторонними.
Два уравнения вида:
для которых ищется общее решение, образуют систему уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Аналогично для любой системы алгебраических уравнений:
Две системы уравнений называют эквивалентными, если всякое решение одной системы является решением другой и, обратно, или если обе системы не имеют решений.
Существует три основных способа решения систем алгебраических уравнений: графический, метод подстановки и метод сложения.
Пояснения к разделу: Алгебраические уравнения и системы уравнений.
Процесс решения уравнения состоит в последовательной замене данного уравнения другим, более простым уравнением. Возникает вопрос о законности такой замены. Всегда ли получается уравнение с тем же множеством решений?
При решении уравнений необходимо следить за изменением множества допустимых значений неизвестного. В случае расширения его следует проверять, не является ли найденное решение посторонним для данного уравнения. В случае сужения необходимо убедиться, не являются ли выпавшие значения неизвестных решениями данного уравнения. Задача нахождения потерянных решений не всегда легко выполнима, поэтому желательно избегать тождественных преобразований, ведущих к сужению множества допустимых значений неизвестных уравнения.
Покажем, как решается биквадратное уравнение.
Пример. Решить уравнение: .
Решение. От переменной перейдем к новой неизвестной величине
с помощью равенства:
.
Таким образом, исходное биквадратное уравнение сведется к квадратному уравнению относительно :
. Находим, что:
;
,
откуда находим, что: и
.
Следовательно, имеем:
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | Корней нет |
Ответ: ![]() ![]() | ||
Встречаются дробно-рациональные уравнения, которые сами не являются биквадратными, а только сводятся к ним. Таково, например, уравнение:
.
Решение. Сложим дроби, расположенные в левой части уравнения:
.
Приравняем к нулю числитель полученной дроби:
.
Преобразовав и упростив левую часть, получим биквадратное уравнение:
.
Решим ее обычным способом, найдем:
;
и
.
Следовательно, имеем:
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Ни одно из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении. Значит, эти числа и представляют собой искомые корни. Итак, данное уравнение имеет следующие четыре корня:
,
,
,
.
Рассмотрим несколько способов решения систем алгебраических уравнений. Пусть надо решить систему уравнений:
I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций и
(рис.3). Эти графики пересекаются в четырех точках. Абсциссы и ординаты точек пересечения являются корнями данной системы уравнений. Из рис.3 видно, что значения корней следующие:
.
![]() | ![]() |
II способ (аналитический). Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:
или
Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными:
то есть
Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых – вторые), получим:
т.е. тот же ответ.
Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений графическим и аналитическим способами.
Пусть надо решить систему уравнений:
I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций и
(рис.4). Эти графики также пересекаются в четырех точках
.
II способ (аналитический). Если применить метод подстановки, т.е. подставить в первое уравнение значение переменной , выраженное через
, после некоторых упрощений получим биквадратное уравнение:
,
или в каноническом виде: .
Корни последнего уравнения нетрудно найти: .
Откуда, путем обратной подстановки в выражение значений
, находим:
.
Итак, мы получили тот же ответ: .
Остановимся теперь на основных способах решения простейших иррациональных алгебраических уравнений в области действительных чисел. Они основаны на возможности замены таких уравнений эквивалентными рациональными уравнениями «исключением радикалов».
Методы решения иррациональных уравнений | |||||
Уравнения, решаемые с помощью «арифметических» рассуждений | ![]() | ![]() | |||
При каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательна. | Решением уравнения является каждое значение ![]() ![]() | ||||
Уравнение не имеет решений | Откуда ![]() | ||||
Уравнения, решаемые установлением множества допустимых значений | ![]() | ![]() | |||
ОДЗ переменной: ![]() ![]() ![]() ![]() | ОДЗ переменной: ![]() ![]() ![]() | ||||
Уравнение не имеет решений | Откуда устанавливаем проверкой, что ![]() | ||||
Способ уединения радикала | ![]() | ||||
ОДЗ переменной ![]() | ![]() | ||||
Уединение радикала | ![]() | ||||
Возведение в квадрат | ![]() | ||||
После упрощений | ![]() | ||||
Еще раз возводим в квадрат | ![]() | ||||
После упрощений | ![]() | ||||
В итоге получим | ![]() | ![]() | |||
Способ введения вспомогательных переменных | ![]() | ||||
Вводим вспомогательные переменные | ![]() | ||||
Эквивалентная система уравнений, причем ![]() | ![]() | ||||
Выразим из первого и вычтем второе из третьего | ![]() ![]() | ||||
После подстановки | ![]() | ||||
После упрощений | ![]() ![]() | ||||
В итоге получим | ![]() | ![]() | |||