Неравенства, содержащие знак модуля. Одним из методов решения неравенств, содержащих знак модуля, является метод промежутков, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем

Одним из методов решения неравенств, содержащих знак модуля, является метод промежутков, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем.

Разобъем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.

Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Разобъем числовую ось точками и на промежутки , и .

Рассмотрим промежуток . Взяв контрольную точку, например, , убеждаемся, что и , заменяя модули, получаем равносильное неравенство:

.

После элементарных упрощений получаем . Значит, решением неравенства на рассматриваемом промежутке является множество .

Перейдем на следующий промежуток . Взяв контрольную точку , убеждаемся, что и . Неравенство упрощается:

, , .

Решением неравенства является множество .

Перейдем к последнему промежутку . Убедимся, что на нем и . Неравенство равносильно следующему:

, , , .

Получили решение . Осталось объединить решения, полученные в трех случаях: = .