Аналитический метод решения задач с параметрами

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при различных значениях параметров;

б) найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Пример. Решить уравнение:

.

Решение. Данное уравнение имеет один параметр . Если , то уравнение имеет один корень . При уравнение является квадратным и, исследуя дискриминант , получаем, что уравнение не имеет действительных корней, когда , т.е. . При получаем, что для и уравнение имеет одно решение, а при - два решения.

Поэтому ответ записывается так:

При
При
При
При
При	Действительных корней нет.

Пример. При каких значениях параметра уравнение:

имеет ровно три корня.

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим на множители. Получим уравнение:

или .

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Получим ровно три корня:

и ,

но при условии, что подкоренное выражение положительно: . Решив это неравенство, получаем, что при уравнение имеет ровно три корня.

Пример. Для каждого значения параметра определить число решений уравнения: и найти их.

Решение. Заметим, что при уравнение решения не имеет.

Если , то уравнение имеет два корня и .

Рассмотрим случай . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Решая их, получим и . Если дискриминанты и этих уравнений равны нулю, т.е. при , каждое уравнение имеет по одному корню .

Если дискриминанты положительны:

Окончательно получим, что при уравнение имеет четыре корня.