Кинематика дирижабля

Твердое тело, движущееся в пространстве, как известно, обладает шестью степенями свободы – тремя поступательными и тремя вращательными. Для описания движения твердого тела выберем инерциальную систему отсчета (с осями , , ), которую будем считать неподвижной. Эта система еще называется земной, поскольку может быть жестко связана с некоторым местом на поверхности земли. С телом свяжем жестко другую систему (с осями , , ), поместив ее начало в некоторую точку внутри тела, например, в геометрический центр (рис.2.1).

Рис.2.1 – Рассматриваемые системы координат

В качестве обобщенных координат, определяющих положение тела, удобно взять три координаты начала системы - и три угла, характеризующих ориентацию осей , и по отношению к осям , , . Названные оси образуют друг с другом девять углов, однако независимыми оказываются только три из них. Обычно в качестве трех углов, определяющих взаимную ориентацию осей систем и , используются эйлеровы углы . Эти углы вводятся следующим образом [2,4,5].

Для удобства будем рассматривать еще одну систему координат – , которая является местной для тела, т.е. ее начало в каждый момент совпадает с центром тела, а оси ориентированы по направлениям соответствующих осей земной неподвижной системы .

Пусть первоначально оси связанной с телом системы были параллельны соответствующим осям системы . Затем тело совершило некоторый поворот относительно , в результате чего ориентация осей в пространстве изменилась.

Любой такой поворот можно представить как сумму трех последовательных поворотов системы относительно системы : первый поворот осуществляется вокруг оси на угол (рис.2.2). Второй поворот происходит вокруг оси связанной системы координат на угол , и третий поворот - вокруг оси системы на угол . Положительные направления поворотов соответствуют вращению против часовой стрелки, если смотреть с концов соответствующих осей вращения.

Из этих рисунков видно, что угол , называемый углом рысканья, есть угол между проекцией оси продольной симметрии тела на горизонтальную плоскость и направлением оси местной системы ; (угол тангажа) есть угол между продольной осью и горизонтальной плоскостью местной системы ; (угол крена) - угол между осью связанной системы и вертикальной плоскостью, проходящей через оси и .

Связь между земной и связанной системами координат дается оператором вращения (с матрицей А), который преобразует компоненты произвольного вектора, заданного в земной системе координат , в компоненты этого же вектора в связанной системе . Связь между компонентами матрицы - направляющими косинусами углов между соответствующими осями, и углами Эйлера дается выражением [2,3]:

, (2.1)

где операторы

, ,

представляют собой операторы частичных (называемых также элементарными) поворотов осей связанной системы: характеризует поворот относительно оси (или , в начальном положении эти оси совпадают) на угол , - поворот относительно оси на угол , - поворот вокруг оси на угол .

Скорости изменения углов выражаются через компоненты вектора угловой скорости следующим образом:

(2.3)

В систему уравнений кинематики твердого тела входят уравнения, связывающие компоненты скорости в связанной системе координат и компоненты той же скорости в земной базовой системе . Эти уравнения определяются линейным оператором (для простоты используем обозначение ):

Функция изменения скорости начала координат

или , (2.6)

Уравнения (2.3) и (2.6) составляют систему уравнений кинематики твердого тела:

, (2.7)

где - вектор внешних координат, характеризующих положение и ориентацию связанной системы относительно базовой; - вектор внутренних координат – проекций на связанные оси векторов линейной и угловой скоростей; - вектор кинематических связей, состоящий из вектора линейных скоростей и вектора угловых скоростей .