Уравнения динамики перемещения центра масс тела

Уравнение Ньютона, соответствующее движению центра связанной системы в случае, когда совпадает с центром инерции тела, имеет вид:

, (2.8)

где - результирующая сила, действующая на тело.

Заметим, что уравнение (2.8) записано в базовой системе координат. При решении задач, связанных с организацией автономного функционирования, самоуправления подвижного объекта необходимо все уравнения динамики писать в связанной системе, т.е. все входящие в эти уравнения величины должны представлять собой компоненты физических векторов по осям системы .

Поэтому получим уравнение, аналогичное (2.8), в связанной системе .

Хотя модуль вектора скорости движения центра масс, рассматривается он в системе или в , одинаков, однако для наглядности будем обозначать этот вектор, когда он наблюдается в системе , как , а когда он наблюдается в системе - через .

Тогда производные по времени вектора скорости центра масс тела, наблюдаемые в системах и , связаны между собой следующим образом:

. (2.9)

Согласно (2.9) первое векторное уравнение динамики твердого тела относительно связанной системы координат имеет вид:

. (2.10)

Заметим, что если перенести второе слагаемое в левой части (2.10) в правую часть, то его можно истолковать как дополнительную инерциальную силу.

Выражение (2.10) было выведено в предположении, что начало системы координат , жестко связанной с движущимся телом, совпадает с его центром инерции. Однако иногда приходится выбирать начало системы не совпадающим с центром инерции. Например, в случае с дирижаблем удобнее выбрать начало системы в геометрическом центре корпуса дирижабля, точнее, в центре масс такого эквивалентного данному дирижабля, который бы имел ту же форму, что и корпус данного дирижабля, и функцию массовой плотности, равномерно распределенную по всему его объему. При этом центр масс реального дирижабля может быть смещенным по отношению к такому геометрическому центру как вследствие неравномерности распределения плотности по объему корпуса, так и вследствие наличия стабилизаторов, карданового подвеса с двигателями и прочего оснащения, что приводит к смещению центра масс из геометрического центра.

Пусть - радиус вектор, проведенный из - начала системы , до точки центра масс . Согласно формуле (2.5) для скорости начала координат можем записать: