ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение y” + p · y’ + q · y = f (x), где p и q – некоторые числа.

Согласно теореме о структуре общего решения ЛНДУ, общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения y* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть f (x) уравнения y” + p · y’ + q · y = f (x) имеет так называемый «специальный вид»:

I. f (x) = P_n (x) · e^αx или II. f (x) = e^αx · (P_n (x) · cos βx + Q_m (x) · sin βx).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f (x) уравнения y” + p · y’ + q · y = f (x) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение y” + p · y’ + q · y = f (x) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.