Гармонические колебания

1. Некоторая точка движется вдоль оси X по закону . Найти: а) амплитуду и период колебаний, изобразить график x (t); б) проекцию скорости v_x как функцию координаты x, изобразить график v_x(t).

а)

б)

Ответ: а) ; ; б) .

2. Точка движется в плоскости Xy по закону x = A sin ωt, y = B cos ωt, где A, B, ω – постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки y (x); б) ускорение точки в зависимости от её радиус-вектора относительно начала координат.

а)

б)

Ответ: а) ; б) .

3. Найти уравнение траектории y (x) точки, если она движется по закону: а) x = A sin ωt, y = A sin 2 ωt; б) x = A sin ωt, y = A cos 2 ωt.

а)

б)

Ответ: а) ; б) .

4. Неподвижное тело, подвешенное на пружине, увеличивает её длину на Δ l = 70 мм. Считая массу пружины пренебрежимо малой, найти период малых вертикальных колебаний тела.

Ответ: .

5. Частица массы m находится в однородном силовом поле, где её потенциальная энергия зависит от координаты x: U (x) = U ₀ (1 – cos αx), U ₀ и α – постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Ответ: .

6. То же, что и в зад. 5, но x: , α и b – положительные постоянные.

Ответ: .

7. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях x ₁ и x ₂ от положения равновесия её скорость равна соответственно v₁ и v₂.

, где x – смещение от положения равновесия частицы, отстоящей от источника колебаний на расстоянии r в направлении распространения волны; u – скорость распространения волны; A – амплитуда колебаний; ω – круговая частота.

Подставим амплитуду в первое уравнение из системы:

Ответ: ; .

Дополнительная задача 1. Гармонические колебания величины s описываются уравнением , м. Определите: а) амплитуду колебаний; б) циклическую частоту; в) частоту колебаний; г) период колебаний.

а)

б)

в)

г)

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

Дополнительная задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 4 см и периодом T = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если её движение начинается из положения x ₀ = 2 см.

Ответ: .

Дополнительная задача 3. Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону , м. Определите максимальные значения: а) возрастающей силы; б) кинетической энергии.

а)

б)

Ответ: а) ; б) .