Векторная алгебра

1.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Единичный вектор оси обозначим , единичный вектор оси обозначим . Таким образом, и . Говорят, что векторы образуют ортонормированный базис на плоскости.

Любой вектор можно выразить через вектора , то есть представить в виде . Это представление называется разложением вектора по базису . Числа называются координатами вектора в базисе .

Любые два непараллельных вектора и образуют базис на плоскости и любой третий вектор может быть разложен по этому базису, то есть представлен в виде .Числа называются координатами вектора в базисе .

Пример. Проверить, что векторы и образуют базис и разложить вектор по этому базису.

Векторы параллельны, если их координаты пропорциональны:

координаты не пропорциональны, значит, векторы и непараллельны, то есть образуют базис.

Найдем числа такие, что .

Векторы слева и справа равны, значит, равны их координаты:

1. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов и называется число

.

Здесь - угол между этими векторами, - длины векторов.

Скалярное произведение позволяет:

1. Находить угол между векторами по формуле

1. Находить проекцию вектора на вектор по формуле

1. Проверять, будут ли векторы перпендикулярны, так как

Пусть в ортонормированном базисе заданы векторы и .

Тогда длина (модуль) вектора находится по формуле , а скалярное произведение