Определение моментов инерции тел и проверка теоремы штейнера на крутильном маятнике

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ: Крутильными колебаниями механической системы называются такие колебания, при которых отдельные элементы системы испытывают деформации кручения.

Примером крутильного маятника может служить массивный цилиндр А, подвешенный на стальной упругой проволоке (рис.1).

Если вывести цилиндр из положения равновесия, повернув его на не­который угол относительно оси О, и отпустить, то на него со стороны закрученной проволоки будет действовать вращающий момент , стремящийся вернуть цилиндр в положение равновесия. Величина возвращающего момента, действующего со стороны стальной закрученной проволоки, в довольно больших пределах изменения угла пропорциональна этому углу: , (1)

где D - коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения проволоки, зависит от материала и ее геометрических размеров. Знак "-" показывает, что векторы углового смещения возвращающего момента направлены в противоположенные стороны (рис.1).Основное уравнение динамики вращательного движения запишется в виде:

, (2)

где I - момент инерции маятника, - его угловое ускорение, - возвращающий момент. В проекции на ось О:

, или (3)

где и .

Решением дифференциального уравнения (3) является уравнение гармонических колебаний:

, (4)

т.е. цилиндр будет совершать гармонические крутильные колебания с круговой частотой и периодом колебаний

. (5)

Таким образом, период крутильных колебаний цилиндра, подвешенного на стальной проволоке, определяется моментом инерции цилиндра и модулем кручения проволоки.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ.

Крутильный маятник, используемый в данной лабораторной работе, представляет собой горизонтальную платформу П (рис.2), подвешенную с помощью двух стальных проволок О₁ и О₂кнеподвижному кронштейну К.

Верхний конец проволоки О1 закреплен во втулке В с рукояткой Р. Если повернуть втулку В на некоторый угол относительно О1О2 и затем вернуть в прежнее положение, маятник будет совершать крутильные колебания с периодом Тn, значение которого согласно формуле (5) определяется моментом инерции платформы In и модулем кручения проволоки D: . (6) Если поместить на платформу какое-либо тело, то момент инерции системы будет равен сумме моментов инерции платформы и тела: , (7)

где I -момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр платформы.

Период колебаний нагруженной платформы:

(8)

Из выражений (6) и (8) следует, что:

, (9)

Таким образом, из (7) и (9) получаем:

. (10)

Выражение (10) позволяет вычислить моментинерции тела, расположенного на платформе, если известен момент инерции платформы:

, (11)

а также может быть использовано для нахождения момента инерции платформы, если известен момент инерции тела, лежащего на платформе:

. (12)