Экстремум функции двух независимых переменных

Функция z = f(x, у) имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями функции из окрестности точки .

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами,а точка – экстремальной точкой.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если z = f(x, у) дифференцируемая функция и достигает в точке М₀(х₀, у₀) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

, .

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть – стационарная точка функции z= f(x, у). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке :

; ; ,

а затем дискриминант = АС — В². Тогда достаточные условия экстремума функции z = f(x, у) в стационарной точке М₀(х₀, у₀) запишутся в следующем виде:

1) >0 – экстремум есть, при этом, если А> 0 (или С> 0 при А= 0) в точке функция имеет минимум, а если А< 0 (или С< 0 при А = 0) – максимум;

2) < 0 – экстремума нет;

3) = 0 – требуются дополнительные исследования.