Применение формулы Тейлора

Линеаризуя решение в окрестности начальной точки по формуле Тейлора, имеем

Отсюда при получаем

(5)

Точное равенство (5), переписанное в виде

говорит о том, что здесь мы имеем одновременно как саму формулу Эйлера для вычисления значения , так и ее остаточный член

(6)

где x₁ - некоторая точка интервала .

Остаточный член (6) характеризует локальную (или, иначе, шаговую) ошибку метода Эйлера, т. е. ошибку, совершаемую на одном шаге. Очевидно, что от шага к шагу, т. е. при многократном применении формулы (4), возможно наложение ошибок. За n шагов, т. е. в точке b, образуется глобальная ошибка; известный факт: порядок глобальной ошибки (относительно шага) на единицу ниже, чем порядок локальной ошибки, а порядком глобальной ошибки и определяется порядок соответствующего численного процесса задача Коши.

Таким образом, локальная ошибка метода Эйлера, согласно (6), есть O(h²), глобальная - O(h), т.е. метод Эйлера относится к методам первого порядка.