Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент). Строку с ведущим элементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

7. Теорема про розклад визначника по елементам рядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет свести вычисление определителя - го порядка () к вычислению определителей порядка .

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки или столбца, который содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель - го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, стали равными нулю. Таким образом, вычисление определителя - го порядка, если он отличен от нуля, сведется к вычислению одного определителя - го порядка.

Задача 3.1. Вычислить определитель

.

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на -5, получим

.

Разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

.

В полученном определителе 3-го порядка обратим в нуль все элементы первого столбца, кроме первого. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-1), к третьей, умноженной на 5, прибавим первую, умноженную на 8. Так как умножали третью строку на 5, то (для того, чтобы определитель не изменился) умножим его на . Имеем

.

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

8. Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Определительравенсуммепроизведений элементов какой-либо строки на ихалгебраическиедополнения.

2)Суммапроизведенийэлементовкакой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю (теорема об умножении на чужие алгебраические дополнения).

9. Арифметичні векторні простори .

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а₁х + b₁у = с₁,

а₂х + b₂у = с₂

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x₁, х₂,..., х_n называется совокупность уравнений вида

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +... + а_1nх_n = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +... + а_2nх_n = b₂,

...................... (1)

а_m1х₁ + а_m2х₂ +... + а_mnх_n = b_m,

где a_ij и b_i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а_ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α₁, α₂,..., α_n), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α₁, α₂,..., α_n) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α₁, α₂,..., α_n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α₁, α₂,..., α_n сохраняется обычная форма записи:

а = (α₁, α₂,..., α_n).

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

а = (α₁, α₂,..., α_n), b = (β₁, β₂,..., β_n) (2)

- два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

α + β = (α₁ + β₁, α₂ + β₂,..., α_n + β_n). (3)

Произведением вектора а на число λ называется вектор

λа = (λα₁, λα₂,..., λα_n). (4)

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L_n.

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

λ₁a₁ + λ₂a₂ +... + λ_ka_k,

где λ_i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

λа + μb = (λα₁ + μβ₁, λα₂ + μβ₂,..., λα_n + μβ_n).

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

a = xi + yj + zk,

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

e₁ = (1, 0, 0,..., 0),

e₂ = (0, 1, 0,..., 0),

e₃ = (0, 0, 1,..., 0),

............ (5)

e_n = (0, 0, 0,..., 1).

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е₁, e₂,..., e_n:

а = а₁е₁ + а₂е₂ +... + а_nе_n, (6)

причем коэффициенты α₁, α₂,..., α_n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а₁, а₂,..., а_k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

λ₁a₁ + λ₂a₂ +... + λ_ka_k = 0,

в которой хотя бы один из коэффициентов h₁, λ₂,..., λ_k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

а₁ = (1, 0, 1, 1), а₂ = (1, 2, 1, 1), а₃ = (2, 2, 2, 2)

линейно зависимы, поскольку

a₁ + a₂ - а₃ = 0.

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a₁, а₂, то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а₁ = λа₂; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а₁ и а₂. Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е₁, е₂,..., е_n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a₁, а₂,..., а_n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L_n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L_n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a₁, а₂,..., а_n:

а = λ₁a₁ + λ₂a₂ +... + λ_na_n.

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

a · b = α₁β₁ + α₂β₂ +... + α_nβ_n.

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

α₁β₁ + α₂β₂ +... + α_nβ_n = 0.

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L_nназывается подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e₁, е₂ из системы (5) будет подпространством пространства L_n.

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a₁, a₂,..., a_k, что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

a = λ₁a₁ + λ₂a₂ +... + λ_ka_k.

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L_n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L_n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z_p, которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, рⁿ элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.

10. Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.