Существования предела функции

	- называется правосторонним пределом функции f (x) в точке или пределом справа.
	- называется левосторонним пределом функции f (x) в точке или пределом слева.

Теорема 1.1. Для того, чтобы существовал предел функции , необходимо и достаточно чтобы существовали односторонние пределы функции равные между собой, т. е.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Необходимость. Пусть существует предел . Тогда для любого e > 0 существует окрестность такая, что " х Î значение

f (x) Î независимо от того стремится х к слева (x < ) или справа (x > ). Следовательно, существуют и односторонние пределы.

Достаточность. Пусть существуют равные между собой односторонние пределы и . Тогда в случае для любого e > 0 существует окрестность такая, что " x> Î значение f (x) Î . Также в случае для того же e > 0 существует окрестность такая, что " x < Î значение f (x) Î . Тогда для заданного значения e > 0 при , " х Î значение функции f (x) Î независимо от того x > или x < , т. е. предел существует.