Определение предела функции

Пусть имеется функция с областью определения D и множеством значений Е. Пусть существует точка , являющаяся предельной для множества D.

Говорят, что х стремится к , если можно в области D выбрать бесконечное число различных последовательностей i Î N стремящихся к .

Пусть любой последовательности значений независимой переменной , стремящейся к , соответствует последовательность значений функции (), стремящаяся к некоторому значению . Тогда говорят о пределе функции.

Определение предела функции по Гейне. Число b называется пределом функции при (), если любой последовательности , (), стремящейся к , соответствует последовательность значений функции , стремящаяся к b.

Определение предела функции по Коши (на языке e-d). Число b называется пределом функции при (), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, зависящее от e, что если значение х принадлежит d-окрестности числа , то значение функции принадлежит e-окрестности числа b.

Кратко с помощью кванторов можно записать

Пример 1.1. Доказать, что .

Используем последнее соотношение из определения предела функции по Коши. Так как , b = 5, а = 1, то

Û .

Отсюда следует, что для любого существует такое, что если , то . Это и подтверждает справедливость соотношения .

Аналогично данному примеру докажем еще три предела.

Пример 1.2. Доказать, что , где С = const.

Пример 1.3. Доказать, что .

Пример 1.4. Доказать, что .

Для случая, когда определение предела формулируется следующим образом.

Определение предела функции при .Число b называется пределом функции при (), если для любого положительного числа e существует такое положительное число N, зависящее от e, что если значение > N, то значение функции принадлежит e-окрестности числа b ().