Случай специальной правой части

Общий вид:

у¢¢ + а₁у¢ + а₂у = f(x), (14)

где . (15)

Здесь P_m(x) и Q_n(x) - алгебраические многочлены степеней соответственно m и n.

В этом случае общее решение (14) получается как сумма общего решения (13) и какого-либо частного решения (14): у_{о. н.} = у_{о. о.} + у_{ч. н.}.

Покажем, как находить у_{ч. н.}, когда f(х) имеет вид (15). Исходя из конкретного вида (15), составляется число . Далее ставится вопрос: является ли корнем характеристического уравнения (13¢). Здесь возможны 3 случая, для каждого из которых строится у_{ч. н.}.

Объединим эти случаи в табл.2.

Таблица 2.

Число	Вид у_{ч. н.}
1. Не является корнем характеристического уравнения	у_{ч. н.} =
2. Является корнем характеристического равнения кратности 1	у_{ч. н} _. =
3. Является корнем характеристического уравнения кратности 2	у_{ч. н.} =

Здесь - алгебраические многочлены степени , где = max(m, n). Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов так, как это показано на следующем примере.

ПРИМЕР. у¢¢ - 4у = х - 1.

Это - неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и со стандартной правой частью.

Характеристическое уравнение: к² - 4 = 0. к₁ = 2, к₂ = -2.

у_{о. о.} = С₁e^2х + С₂e^-2х (случай (а) табл.1).

Составляем . Т. к. здесь a = 0 и b = 0, то = 0; число 0 не является корнем характеристического уравнения, т. е. Это 1-й случай табл. 2. Следовательно, у_{ч. н.} = Ах + В (здесь А и В - неизвестные коэффициенты. Найдем их.). Подставим у_{ч. н.} в исходное уравнение. Т. к. у¢_{ч. н.} = А, у¢¢_{ч. н.} = 0, то