Скалярное произведение двух векторов и его свойства

Такой тип умножения возникает при перемножении двух векторов, когда в результате должен получиться скаляр. Примером является вычисление работы некоторой силы над некоторым движущимся телом

.

Если векторы и заданы координатами, то их скалярное произведение может быть определено с помощью формулы

.

Если же известны модули перемножаемых векторов и угол между ними, то

,

угол между векторами и .

Если некоторый вектор составляет угол с осью ОХ, то проекция вектора на эту ось равна

.

Это же выражение справедливо и для других осей координат, а также и для некоторой прямой, положение которой в пространстве или на плоскости известно.

Проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций векторов на эту ось

.

В соответствии с (1.5.6.) угол между векторами и

.

Свойства скалярного произведения векторов:

- переместительный закон (коммутативность скалярного произведения);

- распределительный закон (дистрибутивность скалярного произведения);

- если , то , скалярный квадрат некоторого вектора , очевидно, что

- если , то .