Базис векторного пространства

Определение. Базисом системы векторов называется совокупность линейно независимых векторов данной системы, число которых равно ее рангу.

Определение. Любая система n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом этого пространства.

Определение. Линейно независимые векторы образуют базис рассматриваемого векторного пространства, если любой вектор этого пространства является линейной комбинацией этих векторов, т.е.

, где - некоторые числа.

В этом случае говорят, что вектор разложен по данному базису, а числа называют координатами вектора по данному базису. При изменении базиса координаты вектора могут измениться.

Теорема: Каждый вектор линейного пространства можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть векторы образуют базис. Возьмем произвольный вектор . Вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов .

Это равенство называют разложением вектора по базису , а числа называют координатами вектора по данному базису. При изменении базиса координаты вектора могут измениться.