Лекция 9. Cлучайные события

Цель: Ввести классическое и статистическое определение вероятности, свойства события и виды событий.Выделить понятие полной группы событий, проанализировать все элементы определения полной группы.Применять формулы комбинаторики: размещения, перестановки, число сочетания, при решения задач. Ввести теоремы сложения вероятностей и умножения вероятностей, формулы Бернулли и Байеса, формула полной вероятности.

Ключевые слова: случайные события, вероятность, испытание, исход, опыт, совместные и несовместные события, зависимые и независимые события, противоположные события, размещения, перестановки, число сочетания, формулы Бернулли, Байеса.

План лекции

1. Основные понятия и определения.

2. Классическое определение вероятности

3. Основные формулы комбинаторики и их применение

4. Статистическое определение вероятности.

5. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

6. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

7. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.

1. Основные понятия и определения

Многие явления в окружающем нас мире носят случайный характер, т.е. если явление наблюдать один раз, то нельзя точно предсказать, как оно будет протекать. Но если это явление наблюдать много раз при неизменных условиях, то оказывается, что его протекание можно описать с помощью чисел, т.е. количественно.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных массовых явлений независимо от их конкретной природы.

Испытание (опыт) – выполнение определенной совокупности условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Исход – возможный результат испытания.

Событие - один или несколько исходов испытания.

Примеры:

1. Появление герба при подбрасывании монеты.

Подбрасывание монеты – испытание

Появление герба – событие.

2. Выход нестандартной детали с конвейера предприятия.

Выход изделий – испытание

Появление нестандартной детали – событие.

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: …

События подразделяют на три вида: достоверные, невозможные, случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в данном испытании.

Например: если в коробке белые пуговицы, то извлечение из коробки белой пуговицы – событие достоверное.

Невозможным называется событие, которое никогда не произойдет в данном испытании.

Например: если в коробке белые пуговицы, то извлечение черной пуговицы – событие невозможное.

Случайным называется событие, которое может как произойти, так и не произойти в данном испытании.

Например, появление герба или реверса при бросании монеты – события случайные.

Совместные (совместимые) события – это события, для которых наступление одного из них не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. они могут появиться вместе.

Несовместные (несовместимые) события - это события, для которых наступления одного из них исключает наступление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут появиться вместе.

Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок “отлично”, “хорошо”, “удовлетворительно” – события несовместные, а получение этих же оценок на экзамене по трем дисциплинам – события совместные.

Равновозможные события - это события, для которых ни одно из них не является более возможным, чем другие, в данном испытании.

Единственно возможные события – это события, если при испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.

Например, события, состоящие в том, что в семье из двух детей: - “два мальчика”, - “две девочки”, - “один мальчик и одна девочка” – являются единственно возможными.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Два события, образующие полную группу, называются противоположными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают .

2. Классическое определение вероятности.

Вероятность события - численная мера, характеризующая степень возможности появления события в данном испытании. Вероятность события обозначается символом - - есть первая буква слова probabilitas - вероятность).

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих событию исходов испытания к общему числу равновозможных и несовместных исходов: (1) Это определение вероятности (1) называется классическим, оно было дано французским математиком Лапласом.

Свойства вероятности.

1) Вероятность достоверного события равна 1.

, т.к. .