Пусть события А1 А2, Аn независимы в совокупности, причем Р(А1) = Р1, Р(А2) = Р2, Р(Аn) = Pn и в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо одно из них.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2, Аn,, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А1А2, Аn
где .
В частности, если все события имеют одинаковую вероятность, равную Р, то вероятность появления хотя бы одного из событий равна:
Р(А) = 1 – qn,
так как q1 = q2 = qn = q.
Применим эту теорему для решения задачи из предыдущей лекции.
Задача 1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8; для второго 0,9. Найти вероятность поражения цели, т.е. вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в цель.
Решение: Событие А - попадание первого стрелка в мишень; событие В - попадание второго стрелка в мишень. События А и В совместны и независимы.
По условию Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,9. Находим вероятность события А + В.
|
|
Воспользуемся формулой (1):
Задача 2. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875.
Найти вероятность попадания при одном выстреле.
Решение: Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна:
Р(А) =1-q3, где q - вероятность промаха.
Р(А) = 0,875 - по условию, следовательно 0,875 = 1-q3
q3 = 1 - 0,875 = 0,125; q = 0,5; р + q = 1; р = 0,5.