Передаточная функция пропорционального звена H(S) = K. Комплексная передаточная функция K(j w) также равна K. Так как К – действительное число, то действительная частотная характеристика U(w) = K, а мнимая частотная характеристика V(w) = 0. Отсюда следует, что амплитудно-частотная характеристика равна:
, | (2.94) |
а фазо-частотная характеристика:
. | (2.95) |
В свою очередь АФХ представляет из себя точку на вещественной оси, удаленную от начала координат на величину К.
Частотные характеристики в виде графиков представлены на рисунках 2.32 – 2.34.
Рисунок 2.32 | Рисунок 2.33 | Рисунок 2.34 |
Из графиков следует, что амплитуда выходной величины не зависит от частоты, а выходные колебания совпадают с входными по фазе на всех частотах.
2.5.2 Интегрирующее звено
Передаточная функция интегрирующего звена . Поэтому комплексная передаточная функция:
. | (2.96) |
Отсюда видно, что действительная частотная характеристика U(w) = 0, а мнимая:
. | (2.97) |
Амплитудно-частотная характеристика:
. | (2.98) |
Фазо-частотная характеристика:
|
|
. | (2.99) |
Частотные характеристики звена представлены на рисунках 2.35 – 2.38. Так как U(w) = 0, V(w) – отрицательная величина, то амплитудно-фазовая характеристика направлена вдоль линии отрицательной оси к началу координат (рис. 2.38).
Рисунок 2.35 | Рисунок 2.36 | Рисунок 2.37 | Рисунок 2.38 |
Из рис. 2.37 следует, что сигнал на выходе интегрирующего звена отстает от входного сигнала на угол .
2.5.3 Дифференцирующее звено
Передаточная функция этого звена H(S) = KS.
Комплексная передаточная функция:
, | (2.100) |
откуда следует, что
U(w) = 0, а V(w) = Kw. | (2.101) |
В свою очередь амплитудно-частотная характеристика также равна W(w) = Kw, а фазо-частотная характеристика:
. | (2.102) |
Частотные характеристики дифференцирующего звена показаны на рисунках 2.39–2.42. Так как U(w) = 0, а V(w) = Kw, т.е. положительная величина, то амплитудно-фазовая характеристика направлена вдоль мнимой положительной оси от начала координат (рис. 2.42).
Рисунок 2.39 | Рисунок 2.40 | Рисунок 2.41 | Рисунок 2.42 |
Из рис. 2.42 следует, что сигнал на выходе дифференцирующего звена опережает входной сигнал на угол на всех частотах.
2.5.4 Инерционное (апериодическое) звено первого порядка
Передаточная функция этого звена:
, | (2.103) |
а комплексная передаточная функция:
. | (2.104) |
Отсюда, действительная характеристика:
, | (2.105) |
а мнимая:
. | (2.106) |
Амплитудно-частотная характеристика:
(2.107) |
Фазо-частотная характеристика:
. | (2.108) |
Найдем значение . Оно равно:
. | (2.109) |
Аналогично:
. | (2.110) |
Складывая (2.109) и (2.110), получим:
. | (2.111) |
Отсюда:
|
|
. | (2.112) |
Добавляя в обе части равенства , получим:
. | (2.113) |
Откуда:
, | (2.114) |
что представляет собой формулу окружности.
Таким образом, АФХ инерционного звена представляет собой половину окружности радиусом , центр которой сдвинут относительно начала координат на величину радиуса в положительном направлении действительной оси. Частотные характеристики инерционного звена представлены на рисунках 2.43 – 2.47.
Рисунок 2.43 | Рисунок 2.44 | Рисунок 2.45 |
Рисунок 2.46 | Рисунок 2.47 |
Из графика 2.46 следует, что фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала, причем по мере увеличения частоты от 0 до ¥ это отставание растет от 0 до .