Лекция 11 Электростатика

1. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Электрический диполь. Поток вектора. Теорема Гаусса. Потенциал. Связь потенциала с напряженностью электростатического поля.

2. Конденсаторы. Емкость конденсаторов различной геометрической конфигурации. Энергия заряженного конденсатора и системы проводников. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии электростатического поля.

Тезисы

1. Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов установлен в 1785 г. Ш. Кулоном. Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является физической абстракцией. Взаимодействие электрических зарядов описывает закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q₁ и Q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними ; в этой формуле . Тогда , где F₁₂— сила, действующая на заряд Q₁со стороны заряда Q₂, r₁₂ — радиус-вектор, соединяющий заряд Q₂ с зарядом Q₁, r= |r₁₂|, e₀ - электрическая постоянная; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна 8,85•10^-12Кл²/(Н•м²), или Ф/м. Тогда 1/(4pe₀) = k = 9•10⁹м/Ф.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля: Напряженность поля точечного заряда в вакууме или

Единица напряженности электростатического поля - ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл=1 В/м, где В (вольт) - единица потенциала электростатического поля. Линии напряженности — линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е. Принцип суперпозиции: напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности:

2. Величина называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS == dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Единица потока вектора напряженности электростатического поля— 1 В•м. Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е через эту поверхность

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А

2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины, в точке В , где r' — расстояние от точки В до середины плеча диполя.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀: или Объемная плотность заряда , поверхностная плотность заряда , линейная плотность заряда

Применение теоремы Гаусса

к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

2) Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности , где r ≥R

4) Поле объемно заряженного шара , где r^/≤ R.

5) Поле равномерно заряженного бесконеч. цилиндра (нити) , где r ≥ R

3. Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю. Тогда , где интеграл - называется циркуляцией вектора напряженности. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Работа сил электростатического поля Потенциальная энергия заряда Q₀, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку Потенциал поля точечного заряда

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 Разность потенциалов в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда. Единица потенциала — вольт (В). Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

Напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала

Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

1) Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х ₁, и x₂от плоскости

2) Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d:

3) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r ₁ и r ₂от центра сферы (r ₁ >R, r ₂> R)

4) Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

Для графического изображения распределения потенциала пользуются эквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение. Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Работа поля по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю.

2.Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединённого проводника величину называют электроёмкостью уединённого проводника. Ёмкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Единица электроёмкости – фарад (Ф); 1Ф – ёмкость такого уединённого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда 1Кл.

Потенциал шара радиуса шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью , равен , отсюда электроёмкость шара . Из формулы вытекает также, что единица электрической постоянной фарад на метр (Ф/м).

На практике необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой ёмкостью. Эти устройства получили название конденсаторов. Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (диэлектрике) заряды, причём ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, ослабляют поле, понижают потенциал, повышают его электроёмкость.

Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: две плоские пластины; два коаксиальных цилиндра; две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноимёнными зарядами.

Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками: Ёмкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и –Q:

Емкость конденсаторов различной геометрической конфигурации.

1)Электроёмкость цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами и , вставленных один в другой: 2)Электроёмкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделённых сферическим слоем диэлектрика: Вывод: ёмкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает ёмкость конденсаторов.

Для увеличения ёмкости и варьирования её возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используются их параллельное и последовательное соединения. У параллельно соединённых конденсаторов ёмкость батареи , т.е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. При последовательсном соединении конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные ёмкостям.

Диэлектрики — тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды. Так как положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящемся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицательным зарядом - Q, находящемся в центре «тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом. Внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика, или, иными словами, к поляризации диэлектрика. Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей. Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации: электронная поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит; ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура; ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

Поляризованность - дипольный момент единицы объема диэлектрика Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то , где c — диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика; c — величина безразмерная; притом всегда c>0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (хотя, например, для спирта c»25, для воды c=80). Результирующее поле внутри диэлектрика . Безразмерная величина e=1+c называется диэлектрической проницаемостью среды. Она показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, характеризуя количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.

Вектор электрического смещения или Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м²). Аналогично, как и поле Е, поле D изображается с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности. Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов:

Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Потенциальная энергия системы двух неподвижных точечных зарядов Q₁ и Q₂, находящихся на расстоянии друг от друга: . В случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна , где - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i-гo.