Решение задач кинематики точки

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ ТОЧКИ

Задачи, решаемые методами кинематики точки, могут состоять в определении траектории, скорости или ускорения точки, в отыскании времени, в течение которого точка проходит тот или иной путь, или пути, проходимого за тот или иной промежуток времени, и т. п.

Прежде чем решать любую из такого рода задач, надо установить, по какому закону движется точка. Этот закон может быть непосредственно задан в условиях задачи или же из условий задачи определен.

Задача. Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Р е ш е н и е. Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения па 3, а обе части второго — на 4 и, почленно вычитая из первого равенства второе, получим: 3 х - 4 у =0 или у = 3х/4.

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под углом α, где tg α =3/4 (рис. 6).

Рисунок 6

Определяем скорость точки. По формулам (12) и (13) получаем:

Теперь находим ускорение точки. Формулы (14) и (15) дают:

Направлены векторы v̅ и a̅ вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0 < t < 1 положительны, следовательно, в течение этого промежутка времени скорость точки направлена от О к B. При этом в момент времени t = 0 v = 10м/с; в момент t = 1 v = 0.

В последующие моменты времени (t > 1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, чго при t = 0 x = 0 и у = 0; при t = 1с x = 4, у = 3 (точка В);

при t = 2с х = 0, у = 0; при t > 2c значения х и у растут по модулю, оставаясь

отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью v ₀ = 10 м/с и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом α, для которого tg α =3/4. На участке OB точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент t = 2с точка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно 10 м/с2.

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t). Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.