Ускорение точки при естественном способе задания движения точки

17 18 19 20 21 22 23

УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Рисунок 1.4

На рисунке 1.4:

τ - орт касательной;

n - орт нормали;

b - орт бинормали;

При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении.

Единичные орты τ, n, b определяют направление соответствующих осей в каждой точке кривой.

Рисунок 1.5

Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

1) знать траекторию движения;

2) установить начало отсчета на этой кривой;

3) установить положительное направление движения;

4) дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t).

Зная эти параметры можно найти все кинематические характеристики точки в любой момент времени (рисунок 1.5).

Скорость точки определяется по формулам (1.9)

V̅ = ̅τ⋅dS/dt, V = dS/dt. (1.9)

Первая формула определяет величину и направление вектора скорости, вторая формула только величину.

Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

т.е. a=a_τ+a_n. (1.10)

В формуле (1.10)

a_τ=τ ⋅dV/dt=τ⋅d²S/dt², a_τ=dV/dt=τ⋅d²S/dt² - касательное ускорение; оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

a̅_n=n̅⋅V²/ρ, a_n=V²/ρ - нормальное ускорение точки; характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

ρ - радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности: ρ=R, для прямой линии ρ=∞).

Полное ускорение точки определяется следующим образом (рисунок 1.5):

Выше отмечалось, что всегда можно перейти от одного способа задания закона движения точки к другому. Поэтому, преобразовывая одни и те же формулы, можно получить другое их написание.

Например,