Как уже говорилось выше, на измеренное значение физической величины влияют случайные и систематические ошибки, в частности ошибки измерительного прибора. Очевидно, эти факторы необходимо учитывать и при вычислении полной погрешности прямого измерения.
Кроме случайной погрешности и погрешности прибора необходимо учитывать и погрешность округления. Это погрешности связанные дискретностью шкалы или индикации измерительного прибора и необходимостью округления промежуточного значения (между соседними рисками шкалы или значениями цифрового индикатора).
Интервал округления h может быть различным. Если отсчет снимается с точностью до целого деления, то интервал округления равен цене деления шкалы прибора (дискрету младшего знака индикатора). Если отсчет округляется до половины деления, интервал округления равен половине цены деления и т.д. Максимальная погрешность округления, очевидно, не превышает половины интервала округления т.е. величин h /2.
Для доверительной вероятности Р можно записать выражение абсолютной погрешности округления
|
|
. (1.14)
Пример. Пусть значение тока в цепи, измеренное при помощи амперметра равно I. Шкала прибора имеет деление ценой 0,1 мА. Отсчет округляется до одного деления, т.е. до 0,1 мА. Значит, величина h =0,1 мА, а абсолютная погрешность округления
= 0,95 ∙ 0,1 мА/2 ≈ 0,048 мА ≈ 0,05 мА
Градуировка измерительных приборов обычно производится так, чтобы деление шкалы было в интервале [ δ; 2 δ ]. Тогда при округлении до половины деления (наиболее удобном) Δ xокр будет вдвое меньше приборной погрешности δ и поэтому ее вклад в полную погрешность несущественен. Отсюда можно вывести весьма полезное правило: если не известна погрешность измерительного прибора, то ее можно оценочно принять равной половине цены деления шкалы. Правило справедливо если прибор не перестраивали после изготовления с помощью дополнительного сопротивления или шунта.
В теории вероятностей показывается, что погрешность, обусловленная несколькими независимыми факторами, определяется квадратичным суммированием. Поскольку в лабораторных учитываются сразу три погрешности, то полная абсолютная погрешность прямого измерения
. (1.15)
а относительная погрешность
. (1.16)
При вычислении всех суммируемых погрешностей доверительная вероятность Р выбирается одинаковой (например, р =0,95). Такой же оно будет и для полной погрешности. Если какая-либо из погрешностей раза в три меньше любой другой, ее вклад в полную погрешность незначителен и ею можно пренебречь.
Рассмотрим на конкретном примере полную обработку результатов прямых измерений.
|
|
Пример. Пусть измеряется э.д.с. датчика Холла. Контрольное наблюдение показало, что U 12 мВ. Поэтому для измерения выбран предел милливольтметра U =15 мВ. Класс его точности к=0,5. Количество делений на равномерной шкале N=150 делений. Цена деления шкалы прибора С .
Первые три измерения показали, что в опыте появляется разброс данных, обусловленный случайными ошибками. Поэтому количество наблюдений увеличено до десяти. Полученные результаты приведены в таблице 1.3.
Таблица 1.3
Э.Д.С. датчика Холла
Номер наблюдения | U | Δ U | Номер наблюдения | U | Δ U |
мВ | мВ | мВ | мВ | ||
12,05 | -0,065 | 12,10 | -0,015 | ||
12,20 | +0,085 | 12,00 | -0,115 | ||
12,10 | -0,015 | 12,15 | +0,035 | ||
12,05 | -0,065 | 12,10 | -0,015 | ||
12,15 | +0,035 | ||||
12,25 | +0,135 |
1. Рассчитать среднее арифметическое =12,115 мВ.
2. Определить случайные отклонения .
3. Проверить равенство нулю алгебраической суммы всех значений Δ U.
4. Рассчитать случайную погрешность (при Р =0,95).
мВ=0,053 мВ
5. Определить приборную погрешность измерения.
мВ.
6. Найти погрешность округления (интервал округления h=0,05 мВ).
=0,024 мВ.
7. Определить полную погрешность измерения.
8. Вычислить относительную погрешность измерения.
9. Найти поправку на систематическую погрешность метода: вольтметр измеряет не ЭДС, а напряжение. Поэтому необходимо учитывать падение напряжения на нем самом. С учетом закона Ома систематическая ошибка . Тогда систематическая поправка определяется из выражения.
.
Поправка на порядок меньше полной погрешности, поэтому ею можно пренебречь.
10. Записать окончательный результат
U=12,12 + 0,08 мВ; ε =0,6%; р=0,95.
В заключение этого раздела несколько слов о количестве повторных наблюдений. Как следует из (1.10), большое количество наблюдений позволит уменьшать случайную погрешность. Однако, это требует дополнительных затрат времени, труда, энергии и т.д. Поэтому вопрос о количестве наблюдений должен быть обдуман и обоснован (особенно в случае сложных и затратных экспериментов). По возможности следует стремиться к тому, чтобы случайная погрешность стала меньше приборной или по крайней мере сравнялась с ней. Нельзя ограничиваться одним наблюдением, оно может содержать промах и по его результату невозможно определить погрешность. Несколько (3…5) повторных наблюдений это тот минимум на основании которого можно оценить ситуацию. Если результаты совпали, то случайные ошибки меньше приборной и на этом количестве наблюдений можно ограничиться. Если в результатах обнаружится разброс, то проводят серию повторных наблюдений, добиваясь уменьшения случайной погрешности.
Таким образом, вопрос о количестве повторных наблюдений решается в ходе эксперимента. На основании анализа полученных результатов, сравнения случайной и приборной погрешностей, учета требований предъявляемых к точности окончательного результата.