double arrow

Примеры решения задач

Пример 1. Определить температуру, при которой в проводнике вероятность найти электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2%.

Решение: Система подчиняется распределению Ферми-Дирака (3.31). В это выражение подставляем исходные данные:

Проведя необходимые вычисления, получим:

Т = 1490К.

Пример 2. Плотность металла γ = 8,9?103 кг/м3, молярная масса М = 63,5 , валентность – 1. Найти концентрацию электронного газа и энергию Ферми (Т = 0).

Решение: Определим концентрацию носителей заряда:

Энергия Ферми определим из соотношения (3.36):

Подставляя необходимые данные и проведя расчеты, получим искомые результаты:

Пример 3. Определить концентрацию носителей заряда в чистом германии при Т = 300К. На сколько градусов нужно повысить температуру от начальной (300К), чтобы число электронов проводимости в германии увеличилось в двое.

Решение: Используя выражение для концентрации носителей (3.39), найдем отношение концентраций электронов:

Учитывая, что степенная функция температуры значительно слабее экспоненциальной, можно записать:

Подставляя исходные данные и проведя необходимые вычисления, получим:

Т2=317К.

Т.е. необходимо увеличить температуру на 17К.

Пример 4. Определить положение уровня Ферми в германии п-типа при Т = 300К, если на 2·106 атомов германия приходится один атом примеси. Концентрация атомов в германии равна 4,4·1028 м-3. Предэкспоненциальный множитель , , .

Решение: Концентрация свободных электронов определяется из условий:

где Nпр – концентрация примеси.

Для величины концентрации основных носителей справедливо известное соотношение:

.

Можно записать выражение:

.

После логарифмирования равенства получим:

Подставляя исходные данные и проведя необходимые вычисления, получим:

,

следовательно, уровень Ферми находится на 0,18 эВ ниже дна зоны проводимости.

Пример 5. Найти положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны при Т = 300 К для кристалла германия, содержащего 5·1016 см-3 атомов мышьяка.

Решение: Воспользуемся формулой, полученной в примере 4.

Считаем, что т.е. все примесные атомы однократно ионизированы.

Подставляя исходные данные и проведя необходимые вычисления, получим:

.

Поскольку ширина запретной зоны германия 0,66 эВ, то уровень Ферми находится на 0,17 эВ выше середины запрещенной зоны.

Пример 6. Удельное сопротивление собственного германия при Т = 300К составляет 0,43 Ом·м Подвижности электронов и дырок равны соответственно 0,39 и 0,19 м2/(В·с). Определите собственную концентрацию электронов и дырок.

Решение.

Удельная проводимость полупроводника σ определяется из уравнения

σ =1/ρ=nie(μp+μn).

Отсюда

= 2,5·1019 м−3.

Пример 7. Образец германия легирован примесью атомов сурьмы так, что 1 атом примеси приходиться на 2·106 атомов германия (N). Предполагается, что все атомы примеси ионизированы при 300 К и концентрация атомов германия NGe = 4,4·1028 м−3. Определить концентрацию электронов, дырок, удельное сопротивление материала, коэффициенты диффузии электронов и дырок.

Решение.

Определим концентрацию донорных примесей

Nд = NGe/N = 2,2·1022 м−3.

Собственная концентрация носителей была определена и равна 2,5·1019 м−3 , можно найти концентрацию дырок

.

Удельное сопротивление легированного полупроводника можно определить как .

Определим коэффициенты диффузии электронов и дырок в германии при Т=300К с помощью соотношения Эйнштейна D = kTμ/e.

D= kTμn/e = 10.0 · 10-3 м2

D= kTμp/e = 4,9 · 10-3 м2

Пример 8. В электронном германиевом полупроводнике длиной l = 1 м один конец нагрет и существует распределение концентрации носителей

(x) = n:(x2+2+1)

Какова скорость изменения концентрации носителей в его центре, если напряжение на его концах = 1 В.

Решение. Запишем уравнение непрерывности (3.48) в виде

Найдем производные и напряженность поля:

Запишем уравнение

Подставив справочные данные (см. приложение), получим

Пример 9. Определить ток, протекающий через тонкую пленку, если известно, что этот ток ограничен пространственным зарядом, площадь контакта = 1 мм2, толщина пленки = 1·10-8 м, μ= 20 см2/Вс, ε = 3,8, = 10 мВ.

Решение. Используем формулу (3.50):

Ig/bεε0μnSU2/d3

Подставим необходимые данные, проведем вычисления и получим ответ

= 72 мкА.

Задачи

3.1. Какова вероятность заполнения электронами уровней расположенных на kT; 2kT; 3kT выше и ниже уровня Ферми.

3.2. На каком расстоянии (в единицах kT) от уровня Ферми находятся уровни, вероятность заполнения которых 0,1 и 0.9.

3.3. Вычислить среднюю энергию свободных электронов в металлическом натрии при Т = 0 К. Известно, что 1 м3 натрия содержит 2,53·1028 атомов.

3.4. Определить концентрацию n свободных электронов в металле при Т = 0К. Энергия Ферми 1 эВ.

3.5. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0К в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны 4,72 эВ и 1,53 эВ.

3.6. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при Т = 0 К если уровень Ферми 7 эВ

3.7. Определить отношение концентрации nmax электронов в металле (Т = 0 К), энергия которых отличается от максимальной не более чем на ΔEk концентрации nmin электронов, энергии которых не превышают значения = ?E; ?E принять равным 0,01EF

3.8. Определить максимальную скорость Vmax электронов в металле при Т = 0К, если EF =5 эВ

3.9. Металл находиться при температуре Т = 0 К. Определить во сколько раз число электронов со скоростями до больше числа электронов со скоростями от 0 до Vmax/2.

3.10. Определить уровень Ферми EF в собственном полупроводнике, если энергия активации равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принять дно зоны проводимости.

3.11. Определить концентрацию свободных носителей заряда в чистом кремнии при Т = 300 К.

3.12. Во сколько раз изменится концентрация собственных носителей заряда в кремнии при увеличении его температуры с 300 до 400 К?

3.13. Найти положение уровня Ферми в собственном полупроводнике относительно средины запрещенной зоны при Т = 300 К, если эффективная масса электрона в два раза больше эффективной массы дырки.

3.14. В чистом полупроводнике при Т = 300 К концентрация собственных носителей составляет 1,5·1016 м-3 эффективные массы электронов проводимости и дырок одинаковы. Определить EF.

3.15. При какой температуре концентрация собственных носителей в кремнии будет равна концентрации собственных носителей в германии при Т = 300К.

3.16. Какова вероятность найти электрон на дне зоны проводимости в собственном германии (Eq= 0,72 эВ), если температура образца равна: а). 30 К; б). 300 К; в). температура плавления 937ºС?

3.17. Какова вероятность найти электрон на дне зоны проводимости при Т = 300 К; а). в собственном германии (E= 0,72 эВ); б). собственном кремнии (E= 1,12 эВ); в). в алмазе(E= 5,6 эВ)? Что означают эти результаты?

3.18. Уровень Ферми полупроводника находиться на 0,3 эВ ниже дна зоны проводимости. Какова вероятность того, что при комнатной температуре энергетические уровни, расположенные на расстоянии 3kT выше дна зоны проводимости, заняты электронами? Какова вероятность того, что потолок валентной зоны, содержит дырки, если
E= 1,1 эВ.

3.19. Вычислить положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости при Т = 400 К для кристалла германия содержащего 5·1016 атомов сурьмы в 1 см3

3.20. Удельная проводимость кремния примесями равна 112 См/м. Определить подвижность дырок и их концентрацию, если постоянная Холла 3,66·10-4 м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.

3.21. Определить удельное электрическое сопротивление кремния при температуре 300 К если концентрация донорной примеси равна 1020 м-3. Подвижность электронов в кремнии при 300 К принять равной
0,14 м2/(В·с).

3.22. Концентрация носителей в кремнии равна 5·1010 см-3, подвижность электронов μ= 0,15 м2/(В·с) и дырок μ= 0,05 м2/(В·с). Определить сопротивление кремниего стержня длинной 5 см и сечением 2 мм2.

3.23. Определить удельное электрическое сопротивление кремния p-типа при температуре 300 К, если концентрация акцепторной примеси 20 м-3. Подвижность дырок при температуре 300 К принять равной 0,05 м2/(В·с)

3.24. Образец германия содержит примесь фосфора 2·1020 м-3. Определить а). удельное сопротивление и тип проводимости при 300К; б). концентрацию германия необходимую для изменения типа проводимости, чтобы удельное сопротивление стало равным 0,006 Ом·м; в). процент содержания примеси в этом образце. Принять μ= 0,39 м2/(В·с); μ= 0,19 м2/(В·с) при Т = 300К.

3.25. Определить удельную электропроводимость кремния при Т = 300К, если N= 2,3·1019 м3; Nд = 2,2·1019м-3.

3.26. Ток = 103A/м2 течет через кристалл германия n-типа с ρ = 0,05 Ом·м. За какое время электроны пройдут расстояние 5·10-5 м?

3.27. Образец кремния p-типа длинной 5 м, шириной 2 мм, толщиной 1 мм и имеет сопротивление 100 Ом. Определить концентрацию примеси и отношение электронной проводимости к дырочной. Принять n= 2,5·1016м-3; μ= 0,12 м2/(В·с); μp= 0,025 м2/(В·с) Т = 300К.

3.28. Термистор из собственного кремния имеет сопротивление 600 Ом при 300К. Вычислить его сопротивление пи 325К, предполагая, что ширина запрещенной зоны кремния 1,1 эВ и что подвижности носителей μn и μp не изменяются в этом интервале температур.

3.29. Коэффициент Холла образца примесного кремния равен 3,66·10-4 м3/Кл, удельное сопротивление образца ρ = 993·103 Ом·м. Определить концентрацию и подвижность носителей заряда, предполагая, что заряды одного знака.

3.30. Определить относительное положение уровня Ферми в кремниевом полупроводнике p-типа и концентрацию неосновных носителей заряда, если концентрация акцепторной примеси 1016 см-3, а Т = 300К.

3.31. В кристалле германия n-типа на каждые 108 атомов германия приходиться один атом донорной примеси. Полагая, что эффективная масса электрона , найти положение уровня Ферми относительно дна зона проводимости (Т=300К)

3.32. В кристалле кремния p-типа на каждые 108 атомов кремния приходиться один атом акцепторной примеси. Найти положение уровня Ферми при комнатной температуре относительно валентной зоны.

3.33. Определить концентрацию электронов и дырок при Т = 300К: а). в собственном кремниевом полупроводнике; б). в кристалле кремния, содержащим 5·1017 атомов сурьмы в 1 см3.

3.34. Определите: а). удельное сопротивление собственного германия при Т = 300К; б). чему будет равно удельное сопротивление, если к этому образцу добавить донорную примесь так чтобы один атом донорной примеси приходился на каждые 108 атомов германия?

3.35. Определить: а). удельное сопротивление собственного кремния при Т = 300К; б). каково будет удельное сопротивление этого кремния, если к этому образцу добавить донорную примесь так, чтобы один атом донорной примеси приходился на каждые 108 атомов германия?

3.36. Образец собственного кремния имеет удельное сопротивление 2000 Ом·м при комнатной температуре и концентрации электронов проводимости n= 1,4·1016 м-3. Определить удельное сопротивление образца, легированного акцепторной примесью с концентрацией 1021 и 1023 м-3. Предположите, что подвижность остается одинаковой как для собственного так и для примесного кремния и равной μ= 0,25 μn.

3.37. Определить концентрацию неосновных носителей заряда, их подвижность в образце германиевого полупроводника p-типа, если концентрация акцепторной примеси 10-16 см-3, а коэффициент диффузии электронов D= 93 см2/с (Т=300К).

3.38. Определить удельную проводимость образца кремния при Т=300К, если концентрация акцепторов в полупроводнике N= 2,3·1013 см-3

3.39. Покажите, что полупроводник имеет минимальную удельную проводимость при данной температуре, когда концентрация электронов . Чему равна концентрация дырок в этих условиях?

3.40. Изменение удельной проводимости германия показало, что она изменяется с температурой по закону exp (-4350/Т). Требуется определить ширину запрещенной зоны германия.

3.41. Определить среднюю скорость дрейфа электронов и дырок в германии при 300К, если к образцу приложено электрическое поле с напряженностью = 10, 100 и 1000 В/см.

3.42. Решить предыдущую задачу для кремния.

3.43. Определите длину диффузионного смещения электрона при Т = 300К в кристалле германия n-типа, если подвижность электронов 3900 см2/(В·с), а время их жизни τ= 100 мкс.

3.44. Образец дырочного антимонида индия имеет подвижность электронов 6,2 м2/(В·с) при Т = 290К. Вычислить диффузионную длину неосновных носителей заряда, если их время жизни τ = 3 ·10-8с.

3.45. Коэффициент Холла образца примесного кремния равен 9,93·10-4 м3/Кл, удельное сопротивление образца ρ = 9,93·103 Ом·м. Определить концентрацию и подвижность носителей заряда, предполагая, что эти носители одного знака.

3.46. Образец полупроводника имеет коэффициент Холла
Rн = 3,66·10-4 м3/Кл и удельное сопротивление ρ = 8,93·10-3 Ом·м. Для обнаружения эффекта Холла образец помещается в магнитное поле с индукцией = 0,5 Тл. Определить угол Холла.

3.47. Образец полупроводника 30 мм´5 мм´1 мм имеет сопротивление 500 Ом. При помещении его в магнитное поле В = 0,5 Тл, перпендикулярное плоскости пластины. На гранях образца возникает ЭДС Холла UН = 5 мB при токе через образец 10 мА. Определить подвижность Холла и плотность носителей в полупроводнике, считая, что он p-типа. До какого значения изменится ЭДС Холла, если в то же поле поместить образец меди таких же размеров и несущий такой же то nси = 8,5·1028 м-3.

3.48. Образец германия n-типа имеет удельное сопротивление
ρ = 1,5 Ом·см; Rн = 5,4·103 см3/Кл. Определить концентрацию основных носителей заряда и подвижность.

3.49. Удельное сопротивление легированного кристалла кремния ρ = 9,27·103 Ом·м и Rн = 3,8·104 м3/Кл. Найти концентрацию и подвижность носителей, если имеется только один тип носителей.

3.50. Коэффициент Холла образца примесного кремния равен 3,66·10-4 м3/Кл, удельное сопротивление образца ρ = 9,93·103 Ом·м. Определить концентрацию и подвижность носителей заряда, если заряды одного знака.

3.51. Оценить факторы, влияющие на величину слагаемых уравнения непрерывности.

3.52. Проанализировать возможные варианты уравнения непрерывности.

3.53. Оценить ток в полупроводнике, пользуясь уравнением непрерывности.

3.54. Через тонкую диэлектрическую пленку течет ток надбарьерной инжекции. Оценить его величину, если Т = 300К, Ф= 2 эВ, = 1 мм2.

3.55. Рассчитать ток, ограниченный пространственным зарядом через тонкую диэлектрическую пленку, если ε = 5, μ= 2 см2/вс, = 10-8 м,
= 20 мВ.


Сейчас читают про: