Некоторые тождества, связанные с определителем тензора

Приведем тождества, которые будут использоваться в дальнейшем. Первое из них, не связанное, правда, с определителем, имеет вид: (1.7)

; (1.13)

; (1.14)

; (1.15)

. (1.16)

Тождество (1.14) следует из определения определителя (1.11). Перепишем его в виде: ,

и поскольку вектор – любой, то

.

Умножив это равенство скалярно на справа, приходим к (1.14).

Тождество (1.15) линейно относительно , поэтому можно взять в качестве одну диаду . Левая часть примет вид:

,

и по тождеству (1.14) с учетом того, что получаем (1.15).

Тождество (1.16) получается из (1.15).

«Несущественная» часть доказывается, если переписать ее в виде .

Так как тензор кососимметричный, представим его в виде где по тождеству (1.15) с учетом того, что равен .