Сложное движение тела

Рассматривается движение тела (ракеты) относительно двух систем отсчета – неподвижной с ортами и подвижной с ортами (рис. 4.13).

Необходимо определить абсолютную ориентацию тела по известной ориентации подвижной системы и относительной ориентации, информация о которой может быть передана в неподвижную систему любым способом, например, в виде телевизионной картинки или в числовом виде посредством направляющих косинусов , измеряемых подвижным наблюдателем.

Тензор поворота, описывающий «абсолютную» ориентацию: , ; описывающий переносное движение: .

Рис. 4.13.Сложное движение тела

Тензор поворота относительной ориентации введем в виде:

, т. е. этот тензор действительно описывает то движение, которое «видит» подвижный наблюдатель, одушевленный или неодушевленный (например, телекамера) и которое неподвижный может наблюдать на экране телевизора.

Таким образом,

. (4.35)

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей имеет вид:

(4.36)

Вектор углового ускорения

, или

. (4.37)

Существует и другая интерпретация [4] сложного движения, которая в описании ориентации по сути не отличается от изложенного подхода, а вот в части определения относительной угловой скорости отличается существенно.

Тензор поворота переносного движения, как и ранее, .

Тензором относительного поворота называется . Действительно, матрица компонент этого тензора, записанного в базисе , описывает относительную ориентацию .

Очевидно, что тензор поворота абсолютного движения

Сразу же отметим, что – это повернутый вместе с подвижной системой «истинный» тензор поворота относительного движения :

так что – формула (4.35).

Векторы абсолютной и переносной угловых скоростей вводятся обычным способом в соответствии с формулой Пуассона: , а вот вектор относительной угловой скорости определяется таким образом, чтобы формула сложения угловых скоростей имела привычный (см. любой учебник) вид:

. (4.38)

Для этого вводится формулой

, (4.39)

где – производная Яуманна, известная в теоретической механике как относительная производная.

Так, если вектор задан координатами в подвижном базисе , то полная производная по времени имеет вид:

где подчеркнутое слагаемое – относительная производная, т. е. производная, которую вычислял бы подвижный наблюдатель, для которого базисные векторы неподвижны.

Таким образом, . Совершенно аналогично для тензора

. (4.40)

Дифференцируя и заменяя по (4.40), (4.39), придем к (4.38).

Собственно говоря, из (4.36) следует, что , т. е. это повернутый вместе с подвижной системой (вместе с телевизором) «истинный» вектор угловой скорости относительного движения . При графоаналитическом решении задач, когда, разумеется, рассматривается актуальное состояние, именно изображается на рисунках.

В качестве примера можно рассмотреть, например, вращающуюся вокруг неподвижной оси с ортом платформу, относительно которой вокруг оси с ортом вращается тело (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Сложное движение

Введем подвижную систему отсчета, связанную с платформой. Тензор поворота переносного движения . Тензор поворота относительного движения («истинный») , где – орт оси поворота тела в отсчетном положении. Заметим, что для подвижного наблюдателя постоянный вектор остается неподвижным и впредь. Разумеется, по (4.35),(4.36)