Существует довольно узкий класс сил и моментов, мощность которых равна полной производной по времени от некоторой функции положения :
.
Такие воздействия называются потенциальными, а – потенциальной энергией (знак (–) принято ставить для удобства).
Если рассматривается мощность силы, то аргументом функции является вектор положения точки приложения силы, т. е. , а если мощность момента, то аргументом является тензор поворота, выраженный, например, через углы Эйлера, т. е. .
Для потенциальных сил и моментов элементарная работа является дифференциалом функции : ; отсюда следует равносильное определение потенциальных воздействий: для них работа не зависит от пути перехода из первого положения во второе:
;
и, как следствие, работа по замкнутому контуру равна нулю:
Если вектор силы известен, то условия его потенциальности можно получить, приравнивая элементарную работу дифференциалу энергии:
,
где оператор Гамильтона (набла–оператор, градиент). Видно, что , т. е. , и, поскольку смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, для потенциальной силы должны выполняться равенства:
|
|
которые на языке дифференциальных операций векторного анализа равносильны равенству нулю ротора силы:
.
Примеры потенциальных воздействий
Однородное поле тяготения (рис. 5.16,a): , .
,
или, если записать , то .
Энергия гравитации (рис. 5.16,б). Обозначим для краткости . Действующая на первое тело со стороны второго сила:
; мощность
.
Дифференцируя равенство , получим , поэтому
следовательно, .
Принимая, что при бесконечном удалении тел , получим .
Рис. 5.16. Потенциальные воздействия |
a) |
Z |
б) |
в) |
г) |
Потенциальная энергия пружины.
а) Линейная пружина (Рис. 5.16,в):
, где длина недеформированной пружины;
.
б) Спиральная пружина (Рис. 5.16,г):