Потенциальные воздействия

Существует довольно узкий класс сил и моментов, мощность которых равна полной производной по времени от некоторой функции положения :

.

Такие воздействия называются потенциальными, а – потенциальной энергией (знак (–) принято ставить для удобства).

Если рассматривается мощность силы, то аргументом функции является вектор положения точки приложения силы, т. е. , а если мощность момента, то аргументом является тензор поворота, выраженный, например, через углы Эйлера, т. е. .

Для потенциальных сил и моментов элементарная работа является дифференциалом функции : ; отсюда следует равносильное определение потенциальных воздействий: для них работа не зависит от пути перехода из первого положения во второе:

;

и, как следствие, работа по замкнутому контуру равна нулю:

Если вектор силы известен, то условия его потенциальности можно получить, приравнивая элементарную работу дифференциалу энергии:

,

где оператор Гамильтона (набла–опера­тор, градиент). Видно, что , т. е. , и, поскольку смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, для потенциальной силы должны выполняться равенства:

которые на языке дифференциальных операций векторного анализа равносильны равенству нулю ротора силы:

.

Примеры потенциальных воздействий

Однородное поле тяготения (рис. 5.16,a): , .

,

или, если записать , то .

Энергия гравитации (рис. 5.16,б). Обозначим для краткости . Действующая на первое тело со стороны второго сила:

; мощность

.

Дифференцируя равенство , получим , поэтому

следовательно, .

Принимая, что при бесконечном удалении тел , получим .

Потенциальная энергия пружины.

а) Линейная пружина (Рис. 5.16,в):

, где длина недеформированной пружины;

.

б) Спиральная пружина (Рис. 5.16,г):