Уравнения Лагранжа (второго рода)

Традиционно уравнения Лагранжа выводятся из уравнений Даламбера–Лагранжа для тел, состоящих из материальных точек, взаимодействие между которыми описываются только силами; хотя уравнения без какого–либо обоснования применяются для описания движения и твердых тел и твердых деформируемых тел, действие на тела-точки которых описывается силами и моментами, что влечет за собой необходимость введения наряду с возможными (виртуальными) перемещениями и возможных поворотов Это нетрудно сделать только для плоских движений, когда , где единичный вектор перпендикулярен плоскости движения.

Вместе с тем следует заметить, что принцип Даламбера, опирающийся на первый фундаментальный закон изменения импульса (для точек–второй закон Ньютона) и на его обобщение для твердых тел – на второй (закон изменения кинетического момента) требует введения совершенно новых понятий: возможных, виртуальных и действительных перемещений и поворотов. Подобный подход способен создать у изучающего механику впечатление, что кроме фундаментальных законов необходимы еще какие–то добавочные «принципы».

Мы покажем, что уравнения Лагранжа следуют из записанной в обобщенных координатах теоремы об изменении кинетической энергии, которая на основе первого и второго законов легко доказывается для систем, состоящих из материальных точек и твердых тел, воздействия на которые описываются силами и моментами; она же, разумеется, является частным случаем третьего фундаментального закона баланса энергии.

Принимается следующее утверждение: нестационарных связей в общепринятой со времен Лагранжа форме нет; явное присутствие времени в описании положения тела объясняется тем, что некоторые обобщенные координаты по необъясняемым причинам объявляются известными функциями времени.

Обозначим все обобщенные координаты (в том числе и зависимости которых от времени объявляются известными) через . Линейные скорости и угловые скорости являются однородными линейными функциями обобщенных скоростей

и, поскольку общий вид кинетической энергии для точек и твердых тел имеет вид , то кинетическая энергия всей системы будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:

Тогда

По теореме Эйлера об однородных функциях , следовательно,

Мощность внешних и внутренних воздействий для материальных точек и твердых тел является однородной линейной формой обобщенных скоростей ,где коэффициенты при обобщенных скоростях по определению называются обобщенными силами.

Теорема об изменении кинетической энергии принимает вид:

). (6.1)

Вследствие того, что теорема верна для всех движений, которые определяются произвольными начальными условиями и произвольными же обобщенными силами, и из-за независимости обобщенных скоростей (для голономных систем) все коэффициенты при скоростях равны нулю:

. (6.2)

Это и есть система уравнений Лагранжа, которая с учетом начальных условий определяет действительное движение.

На первый взгляд может показаться, что перечисленных факторов произвольности и независимости скоростей недостаточно, чтобы каждая из скобок в сумме ( была равна нулю, поскольку внутри скобок имеются те же скорости.

Заметим, что уравнение (6.1) получено на основе первых двух фундаментальных законов, а внутри скобок стоят скалярные произведения уравнений этих законов и независимых для голономных систем базисных векторов и множества векторов положения материальных точек и тензоров поворота твердых тел, входящих в систему.

Рассмотрим тело, состоящее из материальных точек. Умножим каждое уравнение скалярно на и просуммируем их:

. (6.3)

Справа в (6.3) стоит обобщенная сила , а левая часть стандартным образом (см. например, ) преобразуется с использованием тождеств Лагранжа, которые в нашем подходе из-за отсутствия времени в описании положения совершенно очевидны ввиду независимости смешанных производных от порядка дифференцирования: