2015-02-04
577
Следует подчеркнуть, что изложенный подход позволяет вычислять обобщенные силы (воздействия), которые обеспечивают постулируемую ранее зависимость некоторых координат от времени. Рассмотрим примеры.
Математический маятник с изменяющейся длиной (рис.6.2,а).
Материальная точка массы 
подвешена на нити, длина которой изменяется по закону 
. Система имеет две обобщенные координаты: 
и 
. Кинетическая энергия 
, мощность
Уравнения Лагранжа 
; 
.
Из второго уравнения можно найти 
, из первого уравнения определяется натяжение нити 
.
| Рис. 6.2. Постулируемая зависимость координат от времени |
| а) |
| S |
|
|
|
|
|
| б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Движение диска по вращающемуся стержню (рис. 6.2,б). Диск массы
и радиуса 
катится по вращающемуся стержню. Осевой момент инерции стержня 
, жесткость пружины 
.
Система имеет две степени свободы 
. Запишем уравнения Лагранжа:
, 
.
Сообщим находящейся в актуальном (т. е. произвольном) положении системе скорости 
и напишем кинетическую энергию:
,
где 
– скорость центра, 
угловая скорость, 
центральный тензор инерции диска.
Приняв стержень за подвижную систему отсчета, получим
.
Обобщенные силы найдем «по определению» из выражения для мощности 
, причем ввиду независимости обобщенных скоростей можно для упрощения вычислений считать нулями все скорости кроме одной.
1. Примем 
: 
.
2. Примем 
: 
где 
длина недеформированной пружины.
Уравнения Лагранжа будут иметь вид:
;
.
Рассмотрим частный случай движения, при котором стержень вращается с постоянной угловой скоростью 
(именно этот случай чаще всего встречается в учебных задачах).
Второе уравнение запишем в виде
.
Для достаточно жесткой пружины 
это уравнение описывает гармонические колебания:
.
Первое уравнение дает нам значение момента, который необходим для вращения с постоянной угловой скоростью: 
