Введем обозначения

(2.5)

Перепишем систему (2.4) с учетом введенных обозначений

x₁=α₁₂x₂+α₁₃x₃+β₁

x₂=α₂₁x₁+α₂₃x₃+β₂(2.6)

x₃=α₃₁x₁+α₃₂x₂+β₃

Систему (2.6) будем решать методом последовательных приближений. Выбираем произвольно начальное приближение к решению системы

x⁽⁰⁾=(x₁⁰, x₂⁰, x₃⁰). (2.7)

Подставив в (2.6) получим новое приближение x⁽¹⁾:

x₁¹=α₁₂x₂⁰+α₁₃x₃⁰+β₁

x₂¹=α₂₁x₁⁰+α₂₃x₃⁰+β₂(2.8)

x₃¹=α₃₁x₁⁰+α₃₂x₂⁰+β₃

Этим заканчивается первая итерация. На втором шаге начальные приближения х₁⁰, х₂⁰, х₃⁰ заменяются на х₁¹, х₂¹, х₃¹ и процесс (2.8) повторяется вновь для вычисления второго приближения х⁽²⁾=(х₁², х₂², х₃²) и т. д.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все x_i^(k+1) не станут достаточно близки к х_i^(k). Критерий близости между х^(k) и x^(k+1) приближениями оцениваются по формуле

||x⁽^k+1)-x⁽^k)|| (2.9)

где ||x⁽^k+1)-x⁽^k)||- норма вектора разностей;

||α||- одна из норм матрицы α системы (2.8);

ε – заданная погрешность.

Пример. Решить систему

3.5x₁+1.2x₂-0.5x₃=5,

0.1x₁+5x₂+2x₃=11, (2.10)

2x₁-0.3x₂+7x₃=14.

Приведем систему к эквивалентному виду (2.6).

х₁=-0.34х₂+0.14х₃+1.42,

х₂=-0.02х₁-0.4х₃+2.2, (2.11)

х₃=-0.29х₁+0.04х₂+2.

За начальное приближение корней системы (2.11) принимаем произвольные значения: х₁⁰=1; х₂⁰=2; х₃⁰=2.

Подставляем эти значения в правые части уравнений (2.11).

х₁¹=-0,34*2+0.14*2+1.42=1.02,

х₂¹=-0.02*1-0.4*2+2.2=1.42, (2.12)

х₃¹=-0.29*1+0.04*2+2=2.21.

Пусть погрешность метода ε=0.01. Определим норму вектора разностей.

||x⁽¹⁾-x⁽⁰⁾||=max (2.13)

Определим одну из норм матрицы α, введя нулевые коэффициенты на главной диагонали:

0 -0.34 0.14

α=-0.02 0 -0.4, (2.14)

-0.29 0.04 0

(2.15)

С помощью (2.9) проверим условие окончания процесса итерации.

0.58 (2.16)

Условие не выполняется, процесс итерации следует повторить.

Сходимость процесса итерации возможна только для определенного класса систем уравнений.

Приведем без доказательства достаточное условие сходимости.

Если для эквивалентной системы (2.8) выполнено по крайней мере одно из условий

т. е. одна из норм матрицы α меньше 1, то процесс итерации (2.9) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Следствие. Для системы (2.3) метод итерации сходится, если выполнены неравенства

|a_ij|> . (2.17)

Т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.

Теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты данной линейной системы.

Например.

x₁-4x₂+x₃=3 1)

2x₁+3x₂-0.5x₃=5 2)

-4x₁+1.5x₂-3.5x₃=7 3)

Система не отвечает условиям теоремы сходимости: следствие теоремы сходимости не выполняется. Однако, если detA≠0, то с помощью линейного комбинирования уравнений системы последнюю можно привести к виду, удобному для итераций.

Выполним следующие преобразования: в первом уравнении коэффициент при х₂ по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов, примем данное уравнение за второе уравнение системы. Первое уравнение получим, суммируя первое и второе уравнения, третье получим суммируя все три уравнения системы. В линейной комбинации должны участвовать все уравнения исходной системы. Получим

3x₁-x₂+0.5x₃=8 1)+2)