2015-02-04
317
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
(5)
Однородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
, (6)
Которое получается из (5) при q(x)=0. это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется.
Решения уравнения (5) ищутся в виде произведения двух неизвестных функций y = u(x)× v(x). Так как 
, то из (5) следует, 
или
. (7)
Выберем функцию v=v(x) такой, чтобы выполнялось равенство
(8)
Это можно сделать, решая уравнение (8) с разделяющимися переменными. После выбора функции v=v(x) уравнение (7) примет вид 
. Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим функцию u=u(x). Тогда функция y=u(x)v(x) будет решением уравнения (5).
Таким образом, интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.
Пример:
Решить уравнение 
.
Решение будем искать в виде y=uv. Подставляя y=uv и 
в уравнение, получим 
или 
.
Запишем уравнение 
в виде
.
Отсюда
, 
.
Теперь решаем уравнение 
, которое запишем в виде 
и проинтегрируем:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид
.
