Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

(5)

Однородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

, (6)

Которое получается из (5) при q(x)=0. это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется.

Решения уравнения (5) ищутся в виде произведения двух неизвестных функций y = u(x)× v(x). Так как , то из (5) следует, или

. (7)

Выберем функцию v=v(x) такой, чтобы выполнялось равенство

(8)

Это можно сделать, решая уравнение (8) с разделяющимися переменными. После выбора функции v=v(x) уравнение (7) примет вид . Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим функцию u=u(x). Тогда функция y=u(x)v(x) будет решением уравнения (5).

Таким образом, интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример:

Решить уравнение .

Решение будем искать в виде y=uv. Подставляя y=uv и в уравнение, получим или .

Запишем уравнение в виде

.

Отсюда

, .

Теперь решаем уравнение , которое запишем в виде и проинтегрируем:

.

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид

.