П.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Знакоположительным называется такой числовой ряд, все члены которого положительны.

Первый признак сравнения(признак сравнения в непредельной форме).

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(4)

и

, (5)

причем каждый член ряда (4) не превосходит соответствующего члена ряда (5), т.е.

, . (6)

Тогда если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4); если расходится ряд (4), то расходится и ряд (5).

Этот признак справедлив и для случая, когда условие (6) начинает выполняться не при , а с любого значения номера .

Второй признак сравнения(признак сравнения в предельной форме).

Пусть для рядов (4) и (5) существует предел

.

Тогда если , то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся; если и ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если же

и ряд (5) расходится, то расходится и ряд (4).

Ряды, сходимость или расходимость которых полезно запомнить для применения признаков сравнения.

Гармонический ряд: ; этот ряд расходится.

Обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле): ; этот ряд расходится при и сходится при . Рассмотренный выше гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при .

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

существует предел отношения последующего члена к предыдущему

,

то этот ряд сходится при и расходится при .

При возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по признаку Даламбера не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда с положительными членами

существует предел

,

то этот ряд сходится, если , и расходится, если .

При возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по радикальному признаку Коши не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.

Интегральный признак Коши.

Ряд с положительными членами

, (7)

где , и - непрерывная монотонно убывающая при функция, сходится, если сходится несобственный интеграл

. (8)

Если же интеграл (8) расходится, то расходится и ряд (7).