Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(9)
где p, q − некоторые числа, r(x) − функция от x.
Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение (9), в котором правая часть r(x) равна нулю:
(10)
Общее решение уравнения (9) равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (10).
Опишем сначала способ нахождения общего решения однородного уравнения (10).
Характеристическим уравнением для однородного уравнения называется квадратное уравнение
(11)
относительно неизвестной .
В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:
1) D>0. Тогда характеристическое уравнение имеет два различных корня ;
2) D=0. Тогда характеристическое уравнение имеет один корень ;
3) D<0. Тогда действительных корней характеристическое уравнение не имеет. В этом случае находятся числа .
Найдем общее решение уравнения (10) для всех этих случаев.
|
|
1) Если характеристическое уравнение (11) имеет два различных корня , то общее решение уравнения (10) имеет вид
(12)
где С1, С2 − произвольные постоянные.
2) Если характеристическое уравнение (11) имеет единственный корень , то общее решение уравнения (10) имеет вид
, (13)
где С1, С2 − произвольные постоянные.
3) Если характеристическое уравнение не имеет корней, то общее решение уравнения (10) имеет вид
, (14)
где С1, С2 − произвольные постоянные.
Примеры:
1. Для уравнения характеристическое уравнение имеет вид . Его различными корнями являются числа . Поэтому общее решение данного уравнения
.
2. Для уравнения характеристическое уравнение имеет вид . Число является его единственным корнем. Поэтому общее решение данного уравнения записывается в виде
.
3. Для уравнения характеристическое уравнение не имеет корней. Находим числа . Поэтому общее решение данного уравнения
.
Способы нахождения частных решений неоднородных уравнений (9) зависит от вида правой части и в явном виде находятся только для функций r(x) специального вида.
(15)
где −некоторые числа, причем − многочлены от х.
В этом случае частное решение уравнения (9) ищется в виде
(16)
где U(x), V(x) − многочлены, степени которых равны наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x). При этом показатель s выбирается по следующему правилу:
1) s = 0, если
(17)
2) s = 1, если
(18)
Многочлены U(x) и V(x) указанной степени в формуле (16) записываются в общем виде с постоянными коэффициентами. Затем находятся производные и функции (16). После подстановки в уравнение (9) получается линейная система уравнений для определения коэффициентов многочленов U(x) и V(x).
|
|
Примеры:
1. найти частное решение уравнения
.
Здесь , наибольшая степень полиномов P(x) и Q(x) равна 1. поскольку , то условие (17) выполняется, поэтому s = 0. Решение (16) будем искать в виде
.
Найдем производные:
или
.
Подставляя полученные значения функции у и ее производной в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при функциях , получаем систему линейных уравнений:
Отсюда
Решением этой системы будут числа
.
Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид
2. найти частное решение уравнения
Здесь , наибольшая степень полиномов P(x) и Q(x) равна 0.
Поскольку и , то условия (18) выполнены. Поэтому в (16) показатель s = 1, и частное решение ищем в виде
.
Находим производные:
Подставляя полученные значения и в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в правой и левой частях при функциях получаем систему линейных уравнений:
Из этой системы находим .
Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид
.
Пусть теперь правая часть уравнения (9) имеет вид:
(19)
где − некоторое число, P(x) − многочлен от х (этот случай получается из (15) при ).
Частное решение уравнения (9) ищется в виде
(20)
Где U(x) − многочлен с неопределёнными коэффициентами, степень которого равна степени многочлена P(x). При этом показатель s выбирается по следующему правилу:
1) s = 0, если
(21)
2) s = 1, если
(22)
1) s = 0, если
(23)
Примеры:
1. найти частное решение уравнения
.
Здесь p = - 6, q = 8, , P(x) = 5x – 13. поскольку , то показатель s в (20) равен 0. Частное решение ищем в виде
.
Находим производные:
Подставляя в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при функциях и , получим систему линейных уравнений
Отсюда А=-5, В=13, и искомое частное решение имеет вид
.
Ряды.