П.9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Графиком функции 2-х переменных z = f (x, y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость xOy в область определения функции D.

Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f (x, y), где f (x, y) – дифференцируемая функция, и пусть M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z ₀ = f (x ₀, y ₀).

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М ₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М ₀.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) имеет вид:

. (5)

Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М ₀. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости (рис. 1).

Нормалью к поверхности σ в точке М ₀ называется прямая, проходящая

через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке.

Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀), где z ₀ = f (x ₀, y ₀), имеют вид:

. (6)